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常利率下风险模型破产问题的研究

刘莉  
【摘要】:经典的风险模型是考虑理赔次数过程为泊松过程,个别理赔额序列独立同分布且与理赔次数过程相互独立,保费率为常数的情形。在此模型下,当个别理赔额服从指数分布的时候,Filip Lundberg和Cramer等人得到了破产概率的显示表达式。此外,利用William Feller介绍的更新理论的方法,他们得到了破产概率的指数上界,Gerber(1973)利用鞅的方法也得到了同样的结果。关于破产严重性问题近来引起了广泛的关注。Dufresne和Gerber(1988a,b)、Gerber和Shiu(1997,1998)、Gerber等(1987)、Willmot和Lin(1997)以及Yang和Zhang(2001a,b)等都就破产时刻、破产前瞬时盈余和破产时赤字的分布进行了分析。 经典风险模型没有考虑到利率因素的影响。在实际操作中,保险公司的大部分盈余来自于投资的收入,所以有固定利率的风险模型正日益受到人们的关注。Sundt和Teugels(1995)研究了常利率下复合泊松模型的终极破产概率,而且在个别理赔额服从指数分布的特殊情形下,他们还得到了终极破产概率的显式解。Yang(1999)考虑了常利率下离散时间风险模型,利用鞅的方法得到了Lundberg型不等式以及破产概率的非指数型上界。在常利率且有随机投资收入的假设下,Paulsen和Gjessing(1997)得到了Lundberg型不等式。 本文主要考虑常利率下的风险模型,对破产严重性、破产概率的上界以及再保险中的自留额等问题进行了分析。具体来说包括以下几方面的内容: 当初始准备金为u时,第一部分引进了与常数利率δ和Laplace变换自变量α相关的罚金折现期望值Φ_(δ,α)(u)。利用更新理论的方法得到Φ_(δ,α)(u)满足的一个积分方程,又利用Laplace变换的技巧得到了该期望值的初始值Φ_(δ,α)(0)的精确解,从而给出罚金折现期望值应满足的解的形式。在此基础上,用分析的方法讨论了破产前 华东师范大学博士学位论文口004) 瞬时盈余、破产时的赤字和破产时刻联合与边际分布的折现期望值,并得到它们之 I司满足的一个关系式,它推广了Di改son(1992)、eerber和slliu(1995)以及cai和 Di(:k soll(20o2)中的结果.此外还分析了破产前瞬时盈余、破产时的赤字和破产时刻 的联合与边际矩的性质. 假设保单到达时间间隔服从指数分布,理赔次数过程为一般更新过程,且保单 到达过程与理赔过程相互独立,称之为泊松一更新风险模型.第二部分通过构造离 散上鞍和利用递归的方法,分别得到泊松一更新风险模型中终极破产概率的两种上 界.在具体实例中,通过模拟计算对这两种方法进行了比较,并说明了它们的优劣 性. 考虑有息力的SParre Andersoll风险模型在有限时间内破产概率的上界问题. Sl〕arreA:Iclerson(1957)研究了理赔为一般更新到达风险模型的终极破产概率,此 后,理赔为非Poisson到达风险模型的研究得到了极大的关注.Malillovskii(1995)和 wallg(2002)分别研究了sparre Anderson模型中有限时间内破产概率的Lal)la(:e变 换,当个别理赔额服从指数分布或混合指数分布时,他们给出了相应的Lal)la(二变 换的显示表达式.第三部分通过构造一个连续上鞍得到了有息力的sParreAl1del’so:1 风险模型在有限时间内破产概率的上界.当理赔时间间隔服从指数分布、混合指数 分布以及Erlang(2)分布等常见分布时,相应破产概率的上界作为特例情形得到. 最后,在有息力的更新风险模型的基础上,我们考虑了再保险的影响.这里假 设再保费的计算采用期望值原理,其类别属于超额赔款再保险.通过研究有息力的 Sl)a1T。Al,。lerson风险模型在有限时间内破产概率的上界与自留额的关系,利用第三 部分的结论,在使其破产概率的上界达到最小的意义下确定保方的自留额.


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