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一种组合曲线流

岳文权  
【摘要】:本文主要遵循Gage[7]、[8]、Gage-Hamilton[9]和潘生亮[14]的想法研究一种新的平面凸曲线流,这种流是Gage[8]保面积流和潘生亮[14]所提曲线流的“凸组合”。令X(u,t)=(x(u,t),y(u,t)):[a,b]×[0,∞)→R~2是一族平面闭曲线,并且,X(u,0)=X_0(u)是一条平面闭凸曲线。我们的曲率流方程为: X_t=(k-λ2π/L-(1-λ)L/2A)N,0≤λ≤1, L=integral from n=a to b(|X_u|du)=integral from n=a to b((x_u~2+y_u~2du)~(1/2)), A=1/2 integral from n=a to b (xdy-ydx)=1/2 integral from n=a to b (x(?)y/(?)u-y(?)x/(?)u)du, X(u,0)=X_0(u),其中X=X(u,t)代表曲线在t时刻的位置向量,L=L(t)是演化曲线的长度,A=A(t)代表面积,参数u不一定是弧长参数,单位内法向量用N表示,k是演化曲线的相对曲率,下标表示关于t的导数,λ是一个正常数。 我们将证明这种流缩短演化凸曲线的周长,但是不断增加演化曲线所围成的面积,并且,在演化过程中使演化曲线变得越来越圆,最终,当时间趋于无穷大时,曲线的形状收敛到一个圆。 文章主要由三个部分组成。第一部分扼要地介绍曲率流理论的历史和背景以及本文的模型和主要结论;在第二部分中,我们给出平面闭曲线的一些整体性质和一般平面曲线流的几何量的演化方程,由于这些结论都是已知结果,我们只给出结论及其出处,而略去证明的细节。 第三部分是本文的主体。在这里我们给出一种新的平面凸曲线的演化模型,然后,证明在演化过程中凸曲线保持凸性,并且,最终在Hausdorff度量下,当时间趋于无穷大时,收敛到一个圆。接着我们将证明演化问题等价于一个非线性偏微分—积分方程组的初值问题,利用极值原理和Leray-Schauder不动点原理在局部意义上的古典解的存在和唯一性。然后证明初值问题的经古典解的全局存在和唯一性。最后将证明演化曲线“C~2”和“C~∞”收敛到圆。


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