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几类微分、差分方程动力学性质的研究

孙莹  
【摘要】:本文研究了几类微分、差分方程的动力学性质。全文分为两部分。第一部分研究反转系统中同宿、异宿轨线附近的动态,第二部分研究几类高阶有理差分方程的定性性质,主要包括以下工作: 同宿、异宿轨线是动力系统中一类非常重要的解曲线,它们的存在性常常预示着混沌现象和周期轨分支现象的存在性。当系统具有反转性质时,同宿、异宿现象会更容易发生。本文考虑几类4维反转系统,我们证明在通有条件下,在连接鞍焦点和鞍点的反转异宿环附近,存在可数无穷多条连接鞍点的1-同宿轨线,同时还存在可数无穷多条连接鞍焦点的2-同宿轨线和4-同宿轨线,但不可能存在连接鞍点的2-同宿轨线。每条2-同宿轨线都伴随着一族2-周期轨,以它为极限集。这些周期轨与R-不变平面Fix(R)的交线是一些螺线段,而2-同宿轨线则对应于这些螺线段的一个或者两个端点。 而在连接1阶细鞍焦点的同宿轨线的管状邻域中,存在着可数无穷多条(2n+1)-同宿轨线,每条都伴随着一族(2n+1)-周期轨,同时还存在着无穷多条2~n-同宿轨线及2~n-周期轨。由于细鞍焦点是结构不稳定的,经过扰动会跳出周期轨,本文还研究了伴随Hopf分支的同宿轨线分支情况,证明了在R-不变扰动下,该系统由于Hopf分支会产生出3条周期轨Γ_s、Γ_u和Γ_0,它们分别位于稳定流形、不稳定流形及Fix(R)上。同时系统存在连续统的连接Γ_s和Γ_u的异宿轨线及一条同宿于Γ_0的同宿轨线。而在非R-不变的扰动下,该系统在奇点处分支出一条周期轨Γ_u~1,此时系统存在连续统的连接奇点和Γ_u~1的1-异宿轨线及一条同宿于奇点的同宿轨线。 本文利用半环分析的方法,研究了2类高阶有理差分方程解的全局渐近稳定性质,同时给出了这些系统中所有可能的振动解的振动方式,从而较详细的分析了这些系统中轨线的结构。由于研究工作的困难,已有的文献几乎都局限于考虑只具有一个正不动点的差分方程的解的振动性和全局吸引性。本文对2类具有单参数族2-周期解的有理差分方程进行研究,证明了它们的不动点和2-周期点均具有3维稳定流形和1维中心流形,同时中心流形是法向双曲的局部吸引子,并且考虑了有关分支问题。


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