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学生在数学学习中对无限的认识探究

张伟平  
【摘要】: 数学是无限的科学,数学无限是推动数学发展的重要动力,但无限隐藏在相关数学概念中,中学对数学无限一般避而不谈。中学数学大纲没有明确提出学生对“无限”的认识目标。特别是学生对极限概念理解困难,极限概念成为学生学习微积分的“拦路虎”。鉴于此,笔者分层次考察学生对无限的认识,主要从以下两方面着手: 线索一:学生对无限诸层次的认识状况。 (1)初三、高三和大二学生实际达到的无限水平如何?影响学生诸层次无限认识的本质因素是什么? (2)在给出的每一层次的标准尺度的基础上,学生表现出怎样的较稳定的认知方式?容易出现哪些错误的心理模式? 线索二:学生对相关数学无限概念的理解 (1)学生如何认识数学概念中的无限?表现出哪些比较稳定的认知方式? (2)学生认识数学概念中的无限过程中容易出现哪些错误心理模式? 首先,笔者界定了本文研究的无限。学生学习的数学中没有直接给出无限的定义,也不可能直接给出定义。无限包含于具体的数学概念中。有的以显性方式呈现,如自然数、平行线;有的隐含于数学概念中,如函数单调性、交换律。有的存在于某一特定对象的无限过程中,比如函数极限、从集合出发的超限数理论。本文研究的无限是具体数学概念中包含的无限。 接着,从数学哲学、数学发展史、认识论三个角度出发,笔者将学生对无限的认识划分为5大层级,八大层次的金字塔结构。 笔者界定了每一层次的涵义,并分析了各个层次之间的关系,并根据文献资料,精心编制了无限认识量表,在此基础上对学生的无限认识展开了研究。 笔者以Spiro(1991)提出的个体学习的认知弹性理论,美国数学教育学家Ed Dubinsky的APOS理论为依据,运用潜、实无限辩证分析法、无限—有限辩证分析等方法,对学生的无限认识进行分析。 笔者选取了小学、初中、高中、大学二年级共计500多学生作为实证研究的样本,作了问卷测试,并分别从每一年级各选出8名学生共计24名学生作为个案研究对象,对学生的个别访谈作了全程录像或录音。还对初三年级、高中、大二年级的部分教师作了访谈。获取了第一手数据资料后,用SPSS统计软件对数据进行统计分析。横向比较了同一年龄的不同学生的理解层次。通过个案访谈,笔者从数学无限的理解、数学思维、学生心理方面,分析了学生的无限认识状况,纵向比较了不同年龄学生的无限认识状况,分析了学生无限认识的心理倾向,得到了以下结论: 1.从初三到高三学生无限认识的总体发展趋势 高中阶段是学生无限水平蓬勃发展的阶段,具体表现为从初三到高三,学生的无限直觉水平、无限思辩能力显著提高,但到大二,这两方面并无显著差异。高三学生的无限直觉水平、无限思辩能力具有一定的稳定性。 2.学生对无限本质的认识 (1)“无穷大”的抽象化认识是具备初步直觉认识的重要标志; (2)“整体认知”是影响高级直觉认知的重要因素; (3)“动态分析”是演绎层次的重要标志; (4)理解极限的ε-δ定义中的“有分界”的无限是关键。 3.学生对数学无限概念的认识 (1)大二学生对连续、导数、定积分中的“无限逼近”思想认识不足 (2)影响学生理解ε-δ定义的原因分析 4.学生无限认识的心理倾向 (1)生活经验在一定程度上阻碍学生对数学无穷大的认识 (2)高三学生的无限思辩的心理倾向性特点 (3)大二学生对“一一对应”和超限数的认识倾向 在以上结论的基础上,对数学教学提出了建设性意见和建议: 1.在教学中注重学生无限观的培养 (1)在教学中抓住无限认识的开端 (2)启发学生整体认知数学概念 (3)教学中有意识采取有利于学生无限思辩的教学方法 (4)注重对极限概念的动态分析 (5)教学中注重对ε-δ定义中的“有分界”的无限的诠释 (6)关于超限数理论的教学 2注重提高中学教师的数学无限素养 3对教材体系安排的一点建议 4建议在数学课标中体现无限观培养的具体要求 (1)明确提出无限观培养目标 (2)建议在中学数学课程标准中增加无限观培养的一个实例 5对教学评价的建议


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