收藏本站
收藏 | 手机打开
二维码
手机客户端打开本文

统计中的一些假设检验问题

赵海兵  
【摘要】: 假设检验作为三大统计推断问题之一,历来受到人们的极大关注。处理假设检验问题时,人们通常选用似然比检验法(LRT)。一般来说,似然比检验法的势表现是让人满意的。当然出于不同的目的人们有时会选用其它的检验方法,例如本文第二章和第三章中将要谈到的多重比较法。另外在似然比检验统计量的零分布难以获得时,人们也会倾向于选择其它检验法,本文的第四,第五和第六章就是因此而没有选择似然比检验法。先简单介绍一下本文的主要工作。 ●在检验多个处理组和一个对照组的效应是否等时,本文提出一新的检验方法。推荐的检验方法不仅能够提供处理组的效应和对照组的效应差的同时置信下限,且在处理组效应不差于对照组效应的约束条件下有很好的势表现。 ●在检验多个处理组的效应是否等时,本文提出一检验方法在尽量保持连续比较法(Lee Spurrier,1995)的优势的同时提高其势表现。 ●讨论协差阵等且未知时序约束下的几组多维正态分布均值的检验。Sasabuchi(2003,Ann.Stat.)给出了在简单序约束下的检验统计量(Sasabuchi检验)。Sasabuchi检验的形式复杂,不易计算,且并不一致优于备择假设没有限制时的经典的MANOVA检验。本文提出了一新的检验方法,并导出了它的渐近零分布。新的检验比Sasabuchi检验有一致优的势,且形式简单。通过模拟发现新的检验方法也优势于MANOVA。 ●讨论在比简单序更一般的序约束下多元正态均值的检验问题。 ●讨论面板数据模型(Panel Data Model)中的回归系数的检验。当数据模型为一维或二维误差成分面板数据模型时回归系数的检验变得异常困难。本文利用广义P值方法(Tusi Weerahandi,1989)对此检验问题进行了研究,发现广义P值方法明显地优于实际中常用的忽略异方差法,即认为误差项,随机效应项同方差。也明显地优于实际中常用的用误差项,随机效应项的样本方差去作为误差项,随机效应项的已知方差的方法。本文还注意到Weerahandi Berger(1999)研究的问题是这一问题的一个特例。本文证明了两者的一致性。 论文分为六章,其内容安排如下: 第一章介绍本文要讨论的问题的背景及本文的主要工作。它包括序约束的概念,序约束下单维正态分布均值检验的极大似然比统计量,序约束下多维正态分布均值检验的进展,多重比较的概念及其进展。由于后面的章节会用到广义P值,这一章还介绍了广义P值的概念,给出了一个广义P值应用的一个例子。 第二章考虑了简单树序约束下正态分布均值的检验,即 H_0:μ_i=μ_0,i=1,…,k;H_1:μ_i≥μ_0,i=1,…,k, 其中的不等号至少有一个严格成立。这里的μ_i表示正态分布总体X_i的均值,即X_i~N(μ_i,σ~2),i=0,…,k。实际中X_i,i=1,…,k,常表示处理组效应。X_0表示对照组效应。对这一检验问题Bartholomew(1961)导出了似然比检验。Tang Lin(1997)推荐了一近似似然比检验。Mukerjee等(1987)提出了正交对照检验法。Dunnett(1955)提出了著名的Dunnett检验法。在实际应用中人们往往对这样三个顺次的统计推断问题感兴趣: (1).μ_i和μ_0是否都相等?即H_0是否成立? (2).如果不是全相等,哪些μ_i和μ_0不等? (3).如果μ_i≠μ_0,μ_i和μ_0差的下限有多大?即μ_i-μ_0的下限是多少? 似然比检验(LRT),近似似然比检验(ALRT)以及正交对照检验(OC)侧重于问题(1)的解决。虽然用Closing testing方法它们也可以对问题(2)作出回答,但对问题(3)它们却无法回答。Dunnett检验法的侧重点是问题(2)和(3)。对问题(1),Dunnett检验法不如LRT和ALRT,即它没有LRT和ALRT那样优良的势。这一章提出了一个新的检验法,并讨论了新的检验法对这三个顺次统计推断问题的解决,还把它和上述几种检验法进行了比较。发现新的检验和LRT和ALRT一样有优良的势表现,且能够提供μ_i-μ_0的同时置信下限。当考虑序的关系时,其提供的置信下限和Dunnett检验法提供的置信下限各有优势。 第三章考虑了简单序约束下正态分布均值的检验,即 H_0:μ_1=…=μ_k;H_1:μ_1≤…≤μ_k, 其中的不等号至少有一个严格成立。Bartholomew(1959)导出了其似然比检验统计量。为了获得μ_j-μ_i,j>i的下限,Hayter(1990)推荐OSRT(即one-sided studentized range test)。如果我们对下列三个顺次的统计推断问题感兴趣: (1).μ_i和μ_j,j>i,是否都相等?即H_0是否成立? (2).如果不是全相等,哪些μ_i和μ_j,j>i,不等? (3).不等的那些μ_j和μ_i差的下限有多大?即μ_j-μ_i的下限是多少? 那么OSRT是一个很好的检验。因为它能提供μ_j-μ_i的同时置信下限,它的势表现只是稍稍劣势于LRT。此外Lee Spurrier(1995)提出了连续比较检验(SCT)。SCT主要为了解决这样两个问题:哪些μ_(i+1)和μ_i,不等?不等的那些μ_(i+1)和μ_i差的下限有多大?即μ_(i+1)-μ_i的下限是多少?在这两个问题的解决上SCT明显优于其他方法。但实际中人们有可能不仅仅关心这两个问题,而是下面三个顺次问题: (1').μ_i和μ_(i+1)是否都相等?即H_0是否成立? (2').如果不全相等,哪些μ_(i+1)≠μ_i? (3').若μ_(i+1)≠μ_i,μ_(i+1)和μ_i差的下限有多大?即μ_(i+1)-μ_i的下限是多少? SCT对问题(2'),(3')的解决明显地优于LRT和OSRT,但作为假设H_0的检验,即对问题(1')的解决,远劣于LRT和OSRT。本章推荐了一个新的检验。该检验的势表现劣于OSRT,但优于SCT。随着k的增大,推荐检验的势表现向OSRT的势表现接近。推荐检验产生的μ_(i+1)-μ_i的同时置信下限有时和SCT的有相同的精度,有时比SCT的精度差,但随着k的增大这个差距迅速变小。这一点和OSRT不一样。OSRT产生的μ_(i+1)-μ_i置信下限的精度比SCT的差,且随着k的增大这个差距迅速变大。综合而言,随着k的增大推荐检验有OSRT和SCT两者的优点。LRT作为H_0的检验其势表现最优,但不能给出μ_(i+1)-μ_i的同时置信下限。本文不再对其进行讨论。 第四章讨论了简单序约束下的几组多维正态分布均值的检验。设有来自于k组p维正态分布N_p(μ_i,∑)的样本:X_(i1),…,X_(iN_i),i=1,2,…,k。这里假定∑未知,且N_1+…+N_k>p+k。考虑如下检验问题: H_0:μ_1=μ_2=…=μ_k;H_1:μ_1≤μ_2≤…≤μ_k,μ_1<μ_k, 其中“μ_i≤μ_j”表示向量“μ_j-μ_i”的每一个元素都不小于零。考虑到似然比检验统计量的临界点难以获得,以致于它不容易实施,Sasabuchi等(2003)提出了一个检验方法,我们称它为Sasabuchi检验。Sasabuchi检验的一个不足之处在于,它并不一致优于经典的MANOVA检验。本章提出了一个新的检验方法,它比Sasabuchi检验有一致优的势,而且形式更为简单。通过模拟发现这个检验方法还一致优势于MANOVA。本章也导出了这个检验统计量的渐近零分布。 第五章讨论了在比简单序更一般的序约束下多元正态均值的检验问题,即: H_0:μ_1=μ_2=…=μ_k; H_1:μ_(1(1))=μ_(2(1))=…=μ_(k(1)),μ_(1(2))≤mu_(2(2))≤…≤μ_(k(2)), 这里μ_i=(μ′_(i(1)),μ′_(i(2)))′,i=1,…,k,μ_(i(1))的维数是γ,μ_(i(2))的维数是p-γ。特别地,当γ=0时即为第四章讨论的检验问题。同样地,这个检验问题的似然比统计量难以实施。本章推荐一检验,并探讨了推荐检验统计量与似然函数之间的关系。 第六章给出了面板数据回归系数的检验。设 Y_(it)=α+X′_(it)β+μ_i+ν_(it),i=1,…,N;t=1,…,T, 我们称此数据模型为面板数据模型(Panel Data Model)。通常假定μ_i~N(0,σ_μ~2),ν_(it)~N(0,σ_ν~2)。可以将模型写成矩阵形式: Y=αl_(NT)+Xβ+Z_μμ+ν, 其中Y是NT维列向量,X为NT×K维矩阵,Z_μ=I_N×l_T,l_T为元素全为1的T维列向量。在正态假定下有∑=Cov(Y)=σ_μ~2(I_N×l′_Tl_T)+σ_ν~2(I_N×l_T)。注意到此模型除了含有误差项ν外,还含有随机效应项μ。这给回归系数α,β的检验带来困难。在实际应用中人们为了简单起见往往假定σ_μ~2=σ_ν~2,或假定σ_μ~2,σ_ν~2已知并用样本估计值(?)_μ~2,(?)_ν~2作为σ_μ~2,σ_ν~2的值。当数据模型为生长曲率模型时Chi Weerahandi(1998)注意到这两种方法在显著水平α=0.05时犯第一类错误率有时高达40%。通过模拟本文发现这两种方法在面板数据模型中也是如此。本文在尝试把广义P值方法用在检验面板数据回归系数时,发现广义P值方法虽然犯第一类错误的概率不小于显著水平α,但远低于前两种方法犯第一类错误率。因此本文推荐广义P值方法。


知网文化
中国知网广告投放
 快捷付款方式  订购知网充值卡  订购热线  帮助中心
  • 400-819-9993
  • 010-62982499
  • 010-62783978