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一类奇异摄动椭圆方程解的集中现象

王阳  
【摘要】: 我们主要考虑下列奇异摄动椭圆方程 解的集中现象,其中B_1是R~N中以原点为心的单位球,ν代表(?)B_1上的单位外法向,ε是一个正参数,f是一个超线性、具有次临界指数的非线性项。这一类方程有着丰富的生物数学背景及其他的物理应用,近二十年来受到诸多数学家的关注。对该类方程的研究人们已取得了相当多的成果,并随着对此类问题研究的深入,人们越来越发现,看上去如此简单的方程,却隐藏着复杂而有趣的现象。本文中,我们对其中的集中现象作一些研究,特别是将通过所谓的“局部能量法”来构造方程的解,这些解会在预先指定的位置发生集中现象。据作者所知,这些现象都是新的。 本文分成四个部分: 在第一部分中,我们介绍奇异摄动椭圆方程的历史及研究现状,本文的主要结果,并简要列出与文章有关系的一些基础知识。 在第二部分中,我们构造具有多个内部尖峰点的解,这些峰点位于R~N中单位球的一个对称轴上。具体来说,当N≥2时,我们将证明对于任意给定的正整数K,当ε>0足够小时,方程(*)都存在一个轴对称的解u_ε(x)=u_ε(|x'|,x_N),该解只有K个内部局部极大值点Q_1~ε,…,Q_K~ε,并且这些极值点位于给定的对称轴x_N-轴上。另外,当ε→0时我们能够确定出这K个内部极大值点的极限位置。 在第三部分中,我们寻找上述的奇异摄动椭圆方程的另一类具有集中现象的解。通过“局部能量方法”,我们构造出尖峰点位于超平面上的解,并给出尖峰点的个数与参数ε之间的依赖关系。我们证明当ε足够小时,方程(*)存在具有K个内部局部极大值点的解,这些极值点位于B_1中的一个超平面Γ={x=(x_1,x')∈B_1|x_1=0}上,其中1≤K≤(C/((ε|lnε|)~(N-1)))(N≥3),常数C仅与N和f有关。作为推论,我们得到:当ε足够小时,方程至少存在[C/((ε|lnε|)~(N-1))]个解。 最后,在第四部分中,我们将对今后所能研究、努力的方向作简要介绍,同时介绍一些相关的已有结果。


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