交换环上矩阵的广义逆与偏序的研究

【摘要】： Fredholm给出Fredholm积分算子的广义逆，得到了Fredholm积分算子方程的解。Penrose利用四个矩阵方程给出矩阵广义逆的更为简洁定义，此后，矩阵广义逆研究得到了迅速的发展。矩阵广义逆的研究包括环上矩阵的广义逆，范畴中态射的广义逆，广义逆矩阵的计算和广义逆矩阵的应用等。 矩阵的偏序是当前矩阵论研究的一个热点，国内外许多学者从事矩阵偏序的研究，他们研究各种类型的矩阵偏序，并应用到数理统计等学科中。 文研究了环上矩阵的广义逆，范畴中态射的广义逆，并研究矩阵的偏序。具体内容如下： (1)研究交换环上矩阵广义逆，利用加边矩阵给出了矩阵的Moore-Penrose逆Drazin逆存在充要条件，利用子式给出了矩阵Drazin的整体表达式；利用矩阵的广义奇异值分解，给出了复数域上矩阵Gama-逆存在的充要条件，我们研究了正则环、一般环矩阵的若干类型的广义Moore-Penrose逆，得到其存在的充要条件，从而也得到了关于Moore-Penrose逆的相应结果。 (2)研究了矩阵的偏序，利用奇异值分解进一步讨论了正规矩阵的等价刻画，讨论了正规矩阵及其平方矩阵偏序之间的关系；利用矩阵的核心-幂零分解，给出矩阵sharp序的一个新的等价刻画，并讨论sharp序的一些性质；指出了“关于矩阵泛正定与偏序”一文的主要结论不真，分析了原因并给出了正确的结论，考察了矩阵的奇异值偏序。进一步研究广义投影和超广义投影的性质和等价刻画，修正了Baksalary关于*序和减序关系的的一个错误结论。 (3)研究了了预加法范畴中态射的广义逆，利用幂等态射给出了态射广义逆存在的充要条件及其表达式。得到了预加法范畴中态射的柱心-幂零分解存在的充要条件及具体分解方法。定义了态射的加权广义逆，证明它的唯一性，在某些情形下给出了存在的充要条件和表达式。