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关于矩阵填充和非负矩阵的研究

方茂中  
【摘要】: 本论文分五个部分.在第一部分,我们研究了部分整数矩阵填充为单模矩阵的问题;在第二部分,我们研究了给定非本原指标的不可约非负矩阵正元素的可能个数;在第三部分,我们考虑了两个非负矩阵Hadamard积的谱半径的上界和两个M-矩阵Fan积的最小特征值的下界;在第四部分,我们考虑了Kahan保范扩张定理中待定矩阵的一般解;最后我们考虑了部分半正定矩阵的唯一填充问题. 1.部分整数矩阵的填充问题 我们证明了如果一个部分整数矩阵有一条自由对角线,那么这个矩阵能被填充为一个单模矩阵.这样一个条件从一般意义上讲也是必要的.随后我们证明了如果一个n×n(n≥2)部分整数矩阵有2n-3个确定的元素并且这些元素中任何n个不构成一行或一列,那么这个矩阵能被填充为一个单模矩阵.这个结果改进了詹的一个最近的结果. 2.非本原矩阵正元素的可能个数 在[31]中,詹确定了一个给定非本原指标的不可约非负矩阵的正元素的最大个数和最小个数.令σ(A,k)表示给定非本原指标为k的不可约非负矩阵A的正元素的个数.令M(n,k)和m(n,k)分别表示n阶非本原指标为k的不可约非负矩阵的正元素的最大个数和最小个数.詹曾提出下面的问题:设正整数d满足m(n,k)≤d≤M(n,k),是否存在非本原指标为k的一个不可约非负n阶矩阵A使得d=σ(A,k).我们给出了肯定的回答. 3.非负矩阵Hadamard积的谱半径的上界和M-矩阵Fan积的下界 我们给出了两个非负矩阵Hadamard积的谱半径的上界和两个M-矩阵Fan积的下界.这两个界改进了已知的两个结果。 4.Kahan的保范扩张定理中待定矩阵的一般解的表达式 在1967年,Kahan得到了一个矩阵扩张定理:假设H∈C~(l×l)是Hermitian并且B∈C~(s×l).R=(?).用‖.‖_2表示谱范数.那么存在一个W∈C~(s×s)使得A=(?)是Hermitian并且‖A‖_2=‖R‖_2.Kahan并没有给出W的一个显示表达式.在[11]中,Davis,Kahan,和Weinberger推广了Kahan的矩阵扩张定理.他们证明了如果给定矩阵A,B,C则存在解D使得并且随后构造了所有的解D. 令(?)=‖R‖_2.在[34,35]中,征证明了我们可以取进一步,不等式给出了Kahan的定理中解W的表达式.征用广义逆形式给出W是新的想法.在本章,我们将给出Davis,Kahan和Weinberger的保范扩张定理中广义逆形式的解.随后,我们用一种更为简单的方法得到征的结果. 5.半正定矩阵的唯一填充问题 在最后一部分,我们研究了一个部分半正定矩阵的唯一填充问题.我们给出了一个三对角部分半正定矩阵有唯一填充的充分必要条件.我们也研究了部分半正定矩阵的无向图是弦图的唯一填充问题.最后给出了一个刻画那些有唯一半正定填充的部分矩阵的猜想.


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