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矩阵广义逆的性质、计算和几类线性系统的研究

盛兴平  
【摘要】: 矩阵广义逆理论与计算以及线性系统的求解都是20世纪20年代以后兴起的研究课题。发展至今,已经有许多丰富的研究成果了。矩阵广义逆在微分和积分方程、算子理论、控制论、最优化、Markov链等许多领域中有着广泛的应用。线性系统在实验设计、控制和交换理论以及科学和工程技术中也有十分广泛的应用。如今他们都已经成为科学和计算的重要的研究工具。本文对广义逆的计算、表示、代数扰动和修正理论做了进一步的研究,给出了一些新的结果,同时也研究了一些线性系统的求解方法。本文的研究成果可以分为两大类。 1.广义逆的表示、计算和代数扰动 本部分的成果共有两章,在第二章主要介绍了广义逆的一些计算方法,其中第一节给出了基于Gauss消元法而得到的广义逆A_(T,S)~((2))的一种新的表示,并给出了相应的计算过程和计算量。第二节首先给出了广义逆A_(T,S)~((2))的满秩分解表示,利用该满秩分解表示得到广义逆A_(T,S)~((2))的两种仿射组合表示,并给出了相关的应用。第三节构造加权共轭梯度法的迭代公式,从而给出了加权M-P逆和M-P逆的有限迭代计算公式。第四节我们进一步的分析了分块矩阵的行列性质,得出了分块矩阵M-P逆、群逆和Drazin逆的表达式,并用此结果得出了几种广义Schur补的商的等式。 第三章主要研究了广义逆的代数扰动和修正的一些结果。其中第一节通过对长方矩阵的值域和零空间的再研究,给出了长方矩阵常见广义逆的代数扰动表达式,简化了已有的结果。第二节主要研究了长方矩阵加权群逆的分析扰动和代数扰动。第三节得出了α-β广义逆的代数扰动的相关结论。第四节利用M-P逆的秩一修正理论,得出了Bott-Duffin逆和广义Bott-Duffin逆秩一修正的结果。 2.几类线性系统的求解 本部分的内容主要包括两章。第四章主要研究了一些矩阵方程的求解和逼近问题。其中第一节构造了一种有限迭代计算公式用于求解矩阵方程对(AXB,CXD)=(E,F)。第二节利用广义逆的投影方法研究了矩阵方程对AX=B,XD=E的各种解,而不是利用传统的矩阵分解的方法,从中可以很好的看出其解结构。第三节给出了矩阵方程AXB+CXD=E的多项式求解方法,从而把已知利用多项式求解的矩阵方程的方法得到了极大的推广。第四节研究线性Ax=b的最速下降法和极小残量法的修正理论。 第五章主要研究了不定最小二乘问题。首先定义了一种新的广义逆—广义加权广义逆又称为不定最小二乘广义逆,同时研究这种广义逆的一些性质和计算方法。然后利用这种广义逆研究了不定最小二乘问题的显示解。


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