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积分方程求解及一类机械化算法研究

王玮明  
【摘要】: 积分方程是继微分方程之后出现的一个新的近代数学的重要分支,也是科学研究和解决工程技术问题的重要工具之一,具有广泛的应用.方程求解是积分方程研究的热点和难点之一。本文在前人研究的基础上,利用吴文俊院士所倡导的“数学机械化”的思想和方法研究了积分方程求解以及机械化算法等问题。主要工作包括如下几个部分: 第一章,简要综述了积分方程研究简史、积分方程求解方法、数学机械化及其应用等,在此基础上探讨了运用数学机械化思想和方法求解积分方程的必要性与可行性。 第二章,研究了Fredholm积分方程及其方程组的豫解核求解法,在此基础上,建立了基于国际通用计算机代数系统Maple平台的机械化算法,利用这些算法求解Fredholm积分方程时,所要做的全部事情就是输入描述方程的信息,然后机械化算法将给出所求方程的解析解。特别地,在机械化求解的算法设计中,为了增加求解过程的逻辑性和理解度,设计了可读性求解过程输出,使得机械化求解结果与我们用纸和笔求解方程时的过程几乎是一样的。 第三章,研究了Volterra积分方程的Neumann级数与Taylor级数求解法,以及求解Volterra积分方程组的迭代法,在此基础上,在Maple平台上建立了相应的机械化算法,利用这些算法获得了此类积分方程(组)的解析解或者近似解。特别是在利用Neumann级数法求解Volterra积分方程的过程中,将得到的有限迭代核序列k~N(s,t)(N=1,2,…,10)“分解”为若干个部分,对每一部分逐一运用数学归纳法,最后再按照原来“分解”的逻辑顺序合并在一起,从而获取了迭代核的通项公式k~n(s,t),对此无穷求和获得了该类积分方程的解析解,也就是探论了利用有限项结果通过数学归纳法得到通项公式并最终得到解析解的自动化推理问题。 第四章,研究了高阶非线性Volterra-Fredholm积分—微分方程的Taylor多项式解的算法,在此基础上,建立了基于Maple平台的机械化算法,利用该算法获得了此类积分—微分方程的Taylor多项式解或解析解。在此基础上,研究了所建立的机械化算法用于求解高阶常微分方程的问题。 最后,也就是第五章,给出了全文的总结与相关讨论。 研究结果表明,数学机械化是积分方程求解的有效方法之一,计算机高效快捷的特点能够帮助人们完成复杂的计算。这将为其它类型方程求解提供参考。


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