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系统解耦和极点配置问题与不定最小二乘问题

王茜  
【摘要】: 本文主要研究了以下三个问题: 1.右可逆系统{C,A,B}的解耦和极点配置问题。 通过研究与系统相关的矩阵的秩的关系式,得到系统是右可逆的充要条件。给出右可逆系统的一种新的标准分解。给出数值例子,说明如何判定系统是右可逆的,以及构造性得到右可逆系统的标准分解。 利用该标准分解,研究右可逆系统的结构特性。得到与系统传递函数矩阵密切相关的矩阵多项式P(s)=(?)的史密斯形、有限零点、无穷极点零点以及秩的范围,并且得到右可逆系统可控的充分条件。 我们还利用该标准分解研究了右可逆系统的三角解耦、行行解耦问题和相关的极点配置问题,得到一些新的结论。右可逆系统在行置换的意义下总是可以三角解耦的,并且可以任意配置部分传递函数矩阵的极点。给出数值例子,说明结论的正确性。得到了正则行行解耦问题可解的充要条件,及在该条件下求出解和配置极点的方法。对于非正则的行行解耦问题,得到了在特殊情况下可解的充要条件。 2.不定最小二乘问题(ILS)和等式约束不定最小二乘问题(ILSE). 定义了一种新的加权广义逆,得到ILS问题和ILSE问题解的形式,以及解的扰动界。 Krylov子空间方法是求解标准最小二乘问题(LS)的非常重要的迭代技巧。本文应用三种Krylov子空间迭代方法(共轭梯度法,上、下双对角化方法)求解不定最小二乘问题,得到的结果与它们求解最小二乘问题的结果是不同的。对于求解LS问题下双对角化方法是非常有效的,但是对于求解ILS问题却是不稳定的。通过数值实验发现,上双对角化方法效果最好。 对等式约束不定最小二乘问题,提出双曲Householder消元法。由于ILSE问题的解是一个无约束的加权不定最小二乘问题(WILS)的解的极限,基于此,可以用双曲QR方法来求解该WILS问题,再取极限。我们发现这个过程相当于对原ILSE消元的过程。该方法在合理的假设下是向前稳定的,且计算量约为文献中的GHQR算法的一半。误差分析和数值算例说明了我们的结论。 3.秩约束下矩阵方程AXA~H=B的Hermitian半正定最小二乘解 研究了矩阵方程AXA~H=B的秩约束Hermitian半正定最小二乘解,这里不要求B是Hermitian半正定的,也不要求该方程是相容的。得到了使该问题有解的秩p的范围,以及在此范围内,秩-p Hermitian半正定最小二乘解的一般形式。


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