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求解大型稀疏线性方程组的一类预处理子的构造及其应用

王璐瑶  
【摘要】: 许多实际应用问题求解的核心是:如何高效求解稀疏线性方程组Ax=b。其中系数矩阵A是一个大规模的稀疏矩阵,通常是几十万阶甚至几百万阶,乃至更多。这种线性方程组一般采用迭代算法求解,且尽可能保证其原有的稀疏性。当前使用较多的迭代算法为Krylov子空间方法,如:CG、GMRES等。当系数矩阵A的条件数较大或谱分布较差时,迭代算法的收敛速度通常比较缓慢。这时,我们可以通过构造预处理子来加快收敛速度。近年来,各种预处理技术不断被提出和研究,预处理技术目前已经成为求解大规模稀疏线性方程组的有效手段之一。最近几年,有人提出了一类基于矩阵的Hermite和反Hermite分裂(简称HSS)的迭代算法。国内外许多学者对这类算法进行了研究和推广,并讨论了基于HSS分裂的预处理子的构造和性质,取得了很多有意义的成果。 本论文主要研究的是一种推广的HSS迭代算法(简称GHSS算法)。通过引入两个不同的参数使得算法具有更多的灵活性,并且通过选取最优参数可以使得算法具有更快的收敛速度。数值例子也表明GHSS迭代方法与HSS迭代方法相比较确实有优势,迭代步数有所减少。同时本论文还讨论了基于该分裂的预处理子的构造和应用,并对该预处理子进行了理论分析。最后我们对新提出的预处理子进行了数值试验。数值结果表明,这类预处理子具有较好的数值效果。


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