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一类分数次Black-Scholes方程数值逼近的收敛性

江泽薇  
【摘要】: 在过去的20年中,人们发展了许多数值方法来逼近分数次微分方程,这使得分数次微分方程能够被广泛的应用到各种不同的领域,例如:物理、化工、金融等等.在这些数值方法中的一些,事实上,Gr(?)nwald-Letnikov逼近分数次导数扮演着关键的作用.我们知道Black-Scholes方程在金融数学中是十分重要的,在这篇文章中我们把Black-Scholes方程中对时间的整数阶微分换成Caputo分数次微分并利用Gr(?)nwald-Letnikov差分格式来研究它的数值收敛性的问题.本文主要研究如下初边值问题的数值逼近的收敛性:其中算子D_t~β代表Caputo对时间的分数次导数,系数r,σ满足2r-σ~2≥0,δ(x)为广义函数. 我们将利用双变量生成函数和Fourier-Laplace变换证明,在Gr(?)nwald-Letnikov差分格式下,分数次微分方程初边值问题(1)的一种离散解收敛到(?)u(λ,t)dλ(特别地当2r-σ~2=0时极限是一个依赖时间的概率分布),其中u(x,t)是原初值问题的解.


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