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任意有限维空间非扭曲2-鞍点异宿环的稳定性

刘潇  
【摘要】: 本文考虑任意有限维空间连接两个双曲鞍点的非扭曲异宿环的稳定性问题,在可定义Poincar(?)映射的条件下,给出了异宿环在其部分邻域内是渐近稳定的判据,将文献给出的关于3维系统鞍点异宿环的稳定性结果推广到了(m+n+2)维空间中的非扭曲的2-鞍点异宿环,其中m≥0,n≥0. 全文分为三章.在第一章中简要回顾了有关同宿、异宿环的稳定性研究的历史和现状,然后概括叙述了本文所研究的内容.第二章给出了关于高维空间异宿环的稳定性的定义以及对空间系统的几个基本假设,它们在后面一章关于异宿环稳定性的证明过程中起非常重要的作用.第三章的第一节研究连接两个只有1维不稳定流形的双曲鞍点的异宿环的稳定性问题,给出了异宿环部分邻域渐近稳定的条件;第二节考虑了连接两个一般双曲鞍点的异宿环的稳定性,给出了在不同特征值条件下部分邻域内稳定流形与不稳定流形的维数. 我们解决问题的主要思路和方法如下:通过在两个鞍点充分小邻域内,给出系统在适当的线性变换下的第一个规范型,接着采用将局部稳定流形和不稳定流形拉直的变换建立了第二个规范型.然后,在鞍点P_1,P_2的小邻域内适当选取两个异宿轨道的横截面,并分别分两部分来构造流映射.在鞍点P_1,P_2的小邻域内,本质上我们利用线性近似系统的流来构造奇异流映射的主部,而在鞍点的邻域外的异宿轨道的小管状邻域内,则用近似于一个非奇异矩阵的微分同胚来获得正则流映射.将四者复合即得到定义于P_1小邻域内某横截面上的Poincar(?)映射.最后,我们通过技巧性地估计向量的模,给出了在横截面上Poincar(?)映射的初始点与首次回归点离异宿轨道与横截面交点的距离之比,由此得到关于非扭曲2-点异宿环的非常简洁的稳定性判据.


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