非线性微分差分方程守恒律的自动推导研究

【摘要】： 在当代非线性科学中,非线性方程的可积性是广大学者的重要研究方向之一.本文将结合著名数学家吴文俊的数学机械化思想,并以计算机代数系统Maple为工作平台研究非线性微分差分方程(DDE)守恒律的代数构造算法及其机械化实现.本文主要内容包括如下三部分. 第一部分综述了四种典型的构造(1+1)维离散化可积等谱发展方程族系统无穷守恒律的方法,具体包括Ricatti方程组构造法、特征函数形式解构造法、迹恒等式构造法和B(a|¨)cklund变换构造法. 第二部分研究非线性DDE守恒律的待定系数构造算法.本文从微分方程的标度变换出发,利用“分治”策略改进了构造非线性DDE守恒律待定系数算法中的关键步骤,有效解决了因冗余项急剧增加引起的中间计算过程膨胀问题,并将吴消元法应用到非线性代数方程组的求解上,从而给出了一个更高效的代数算法.另外,初步研究了离散化的零阶欧拉算子和同伦算子. 第三部分基于Maple系统实现了改进后的代数构造算法,开发了非线性DDE多项式守恒律的自动推导软件包CLawDDEs.只要输入多项式形式的等秩DDE,无论是单个方程还是耦合方程组,CLawDDEs都能自动确定变量的标度变换特性和不同秩的多项式守恒律.甚至对扩展类型的方程,只要经过适当的变量替换同样可以调用CLawDDEs来构造守恒律.对于参数化的非线性DDE,软件包还能自动过滤出方程可积的参数限制条件,从而可能获得一些新的可积系统.

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