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微分方程解析近似解的符号计算研究

杨沛  
【摘要】: 本文基于数学机械化思想,借助于符号计算软件,以非线性方程为对象,系统地研究了适用于强非线性问题的解析近似方法:Adomian分解方法(ADM)和同伦分析方法(HAM)的应用和机械化实现。 第一章是与本文相关的研究背景。简要综述了计算机代数和孤立子理论的发展进程,针对性地介绍了近年来解析近似方法的研究成果和现状。 第二章改进了Adomian分解方法,能够获得修正Korteweg-de Vries (mKdV)方程和Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程的双孤子解。通过引入自变量变换和行波变换,将Degasperis-Procesi (DP)方程短波模型化为常微分方程,应用Adomian分解方法求解之,获得其闭合形式的解析解,再经过反变换,能够获得其环状孤子解。以上结果表明了Adomian分解方法在求解方程特殊孤子解方面的有效性。对Adomian分解方法进行了推广,解决了方程中离散变量不同于连续方程中的变量问题,并与Pade近似结合,能够获得几个经典的非线性微分差分方程组的孤子解,显著提高了方程解析近似解的精度。同时,我们还讨论了Pade有理近似中出现的伪极点问题,给出了合适选择Pade近似阶数的指导原则。获得的解析近似解与精确解符合得很好,表明了Adomian分解方法对复杂强非线性问题的有效性。 第三章通过引入自变量变换和行波变换,将偏微分方程化为常微分方程,通过同伦分析方法求解之,再经过反变换,能够获得DP方程短波模型的环状孤子解和Camassa-Holm (CH)方程短波模型的尖状孤子解,结果表明了同伦分析方法在求解方程特殊孤子解方面的有效性。对同伦分析方法进行了推广,解决了方程中离散变量不同于连续方程中的变量问题,改进了同伦分析方法选择初始猜测解的方法,能够获得离散修正KdV方程的亮孤子解,获得的解析近似解与精确解符合得很好,表明了同伦分析方法对复杂强非线性问题的有效性。 第四章在计算机代数系统Maple上实现了Biazar提出的求解Adomian多项式的算法,编制了构造微分方程(组)和积分方程(组)解析近似解的自动推导软件包,这个算法避免了Adomian多项式的计算膨胀问题,降低了计算难度并显著提高了计算速度,通过大量实例说明了该软件包的有效性和实用性。


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