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图中配对控制集问题的机械化算法研究

陈磊  
【摘要】: 设图G=(V,E)是一个无向简单图并且没有孤立点。如果V的一个子集S满足V-S中每个顶点都有一个邻点在S中,则称S是图G的一个控制集。进一步,如果S是图G的一个控制集并且由S导出的子图G[S]有一个完美匹配,则称S是图G的一个配对控制集。一个图G的配对控制数,记为γpr(G),定义为min{|S||S是图G的一个配对控制集}。配对控制集问题就是确定图的配对控制数。配对控制集问题最初是由T. W. Haynes和P. J. Slater提出的,同时他们证明该问题对于一般图而言是NP-完全的。本文继续对配对控制集问题及其相关问题进行研究,主要工作包括以下几部分: 第一部分,对配对控制集问题做了难度分析和近似难度分析。T. W. Haynes和P. J. Slater已经证明配对控制集问题对于一般图而言是NP-完全的。我们进一步证明配对控制集问题对于二部图和分裂图而言是NP-完全的。在近似算法方面,给出了配对控制集问题近似比的上下界,并证明配对控制集问题对于最大度不超过3的图是APX-完全的。 第二部分,用标号方法给出了配对控制集问题在一些特殊图上的多项式时间算法,这些特殊图包括区间图、树、块图和强弦图,并证明了这些算法的正确性。其中,为解决强弦图上的配对控制集问题而设计的算法MPDS是本文最大的贡献,这个算法覆盖了很多学者之前提出的算法。此外,我们运用Maple平台实现了算法MPDS。 第三部分,针对块图和其中的顶点,我们对具有特殊性质的最小配对控制集的块图和块图中的顶点做了分析。主要包括两方面的内容,首先给出了一个具有唯一最小配对控制集的块图的刻画,这个结果推广了前人在树上的结果。其次,给出了在块图中筛选出包含在所有最小配对控制集中的方法,同样推广了前人在树上的结果。 第四部分,对于配对控制集的两类变形问题-带距离的配对控制集问题和带权的配对控制集问题,做了较深入的研究。用标号方法给出了带距离的配对控制集问题在区间图和块图上的多项式时间算法,并证明它们的正确性。给出了带权的配对控制集问题在一般图上的一个近似算法和树上的精确算法。


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