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几类平面多项式与分段光滑系统的极限环分支

杨俊敏  
【摘要】:本文主要研究了平面上一类分段光滑哈密顿系统和几类多项式系统的极限环分支问题.利用后继函数我们研究了分段光滑哈密顿系统的Hopf分支.利用Melnikov函数我们研究了几类多项式系统在扰动下的Hopf分支、同宿分支、双同宿分支以及尖点环分支,给出了它们产生多个极限环的具体条件,对它们在平面上所产生的极限环最大个数的下界给出了一些新的结果.全文共分为七章,具体内容如下: 第一章为引言,主要介绍了所研究课题的来源、现状以及本文的研究方法和主要结论. 在第二章,我们主要研究了分段光滑哈密顿系统的Hopf分支,当哈密顿函数是具有一般形式的分段光滑的多项式函数时,我们得到了该系统在原点附近所产生的极限环个数的下界和上界.对一些具有特殊形式的这类系统,我们得到了它们的Hopf环性数. 在第三章,我们考虑了近哈密顿系统的极限环分支.对该系统,我们用一种新的方法来研究Melnikov函数在原点附近的解析性质,并在此方法的基础之上,建立了一套有效地计算程序来系统地计算Melnikov函数在初等中心附近展开式中的系数.进一步,除了扰动中包含的参数之外,我们考虑了当该系统的哈密顿函数依赖于参数时的情况,此时,可以在原点附近得到更多的极限环.我们将所得结论应用于在三次扰动下的二次哈密顿系统和二次可积非哈密顿系统,得到了这类系统在原点附近所能产生的极限环的最大个数. 在第四章,我们考虑了近哈密顿系统在同宿环、双同宿环及中心附近的极限环分支,并给出了该系统产生极限环的一些一般定理.利用这些定理我们研究了一些带有扰动的多项式Lienard系统的极限环分支,得到了这类系统所能产生的极限环最大个数的新的下界. 在第五章,我们研究了具有一个尖点环的一些多项式Lienard系统的极限环个数,对这类系统所能产生的极限环的最大个数我们得到了一些新的结果. 在第六章,我们对同时具有一个尖点环和一个同宿环的一类多项式Lienard系统在中心附近,同宿环附近,尖点环附近,中心与尖点环之间,尖点环与同宿环之间所能产生的极限环进行了研究,对这类系统所能产生的极限环最大个数的下界我们给出了新的结果. 在第七章,我们研究了一个具体的三次系统,得到了它产生13个极限环的具体条件.


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