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几类微分系统的周期轨分支

田焕欢  
【摘要】:本文研究了三类微分系统的周期轨分支,分别是平面光滑系统,高维分段光滑系统和具有曲线切换线的平面分段光滑系统.众所周知,Melnikov函数在平面光滑系统极限环分支的研究中起到了重要作用.本文中关于平面光滑系统的研究就是应用已有的Melnikov函数方法.为了研究高维分段光滑系统和具有曲线切换线的平面分段光滑系统的周期轨分支,本文建立了相应的Melnikov函数理论并取得了一些有趣的结果.本文分为四章,具体安排如下:第一章为绪论,介绍了所研究课题的背景来源,发展过程,研究方法及研究现状,并提出了本文的研究工作及创新点.第二章研究了一类C∞近哈密顿系统,其未扰系统有一个含有二阶幂零鞍点的双同宿环且在双同宿环附近有三族周期轨.通过研究首阶Melnikov函数在双同宿环附近的展开式和展开式的各项系数,得出了此类系统在双同宿环附近可以出现的极限环个数.具体来说,我们证得此类系统在某些条件下可在双同宿环附近出现11,13,14和16个极限环并给出了应用实例.第三章研究高维分段光滑近可积系统的周期轨分支.当未扰系统有一族与切换面横截相交的周期轨时,建立了首阶Melnikov向量函数,此向量函数可以研究原系统从周期轨族分支出的周期轨的个数.特别地,此向量函数可以研究退化的Hopf分支和退化同宿分支.作为主要理论结果的应用,研究了一类三维分段线性系统,并得到了 5个极限环.第四章主要研究具有曲线切换线的平面分段光滑近哈密顿系统的极限环个数,其切换线亦可以是凸闭曲线.当未扰系统有一族周期轨时,建立了首阶Melnikov函数,该函数在研究从周期轨族分支出的极限环个数中起到了关键作用.当周期轨族的边界为初等中心时,本文证得了首阶Melnikov函数在中心处的形式展开式并给出了相应的Hopf分支定理.作为分段光滑近哈密顿系统的推广,文章中亦研究了分段光滑近可积系统的首阶Melnikov函数.作为应用,本文研究得到奇点为中心的线性系统在以二次曲线作为切换线的分段线性函数的扰动下,在中心附近可以有3个极限环.


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