海洋水波中几个数学问题的研究

【摘要】：地球大约70%的表面被水覆盖,海洋水波运动作为自然界最常见的运动之一,在流体力学、海洋科学、大气科学和预测自然灾害等方面有着广泛的应用,因此系统研究海洋水波的动力学特征具有非常重要的意义(如2004年的印尼海啸).水波作为推动应用数学发展的重要模型之一,更是让水波问题的研究,尤其是海洋水波的研究成为应用数学的核心问题之一.本博士论文讨论了几个海洋水波模型,综合应用微分方程的多种理论和技巧,包括定性理论、稳定性理论、分支理论、Schuader估计、极值原理等,主要围绕海洋水波的精确解及其不稳定性、分层水波、稳态周期水波等问题展开研究.共分为以下五章内容.第一章,主要介绍海洋水波的研究背景及发展进程、预备知识和本文研究内容.其中预备知识主要包括海洋水波运动方程,以及涡度、流函数、流力函数等基本物理量的介绍.第二章,建立任意纬度内波温跃层模型,考虑科氏力的影响,主要研究该类型海洋水波的精确解,并借助于短波扰动法,给出精确解不稳定性的判别准则.并研究了带有科氏力和底层潜流的任意纬度内波温跃层附近每层海洋水波的速度分布和压力分布.此外,给出在特殊地区南北半球底层潜流的取值范围.第三章,讨论带有表面风应力的任意纬度海洋水波模型,考虑科氏力和向心力的影响,主要研究该类型分层海洋水波的动力学特征.并证明了在特殊的两层海洋水波中,与海洋表面附近风速有关的单调性结果.第四章,研究在自由表面上传播的具有固定平均深度的二维稳态周期赤道水波.特别地,关注无旋水波,将水波区域的流力函数当作固定参数,利用流力函数和改进的高度函数将带有未知边界的非线性海洋水波问题转化成固定边界的拟线性椭圆微分方程.基于Crandall-Rabinowitz提出的局部分支和全局分支理论,给出关于非平凡局部解曲线和全局连续体的存在性分析.第五章,总结全文,并对今后水波方向的研究内容作出展望.