Some Applications of Runge-Kutta Methods

【摘要】：Hamilton系统在物理、力学、工程、生物、基础和应用数学等领域有广泛的运用。在许多方面,Hamilton形式普遍被认为是一个非耗散的物理过程,对其进行数值处理就显得尤为重要。Hamilton系统的一个很重要的性质是Poincare 和Liuville的相面积守恒。当用数值方法解决这类方程时,我们希望数值方法能保持这种性质,同时称相应的数值方法为辛方法。 自我国科学家冯康和美国科学家Ruth创立辛几何算法以来,由此建立的有限维Hamilton系统保结构算法的理论日臻完善,特别是在保结构算法即辛几何算法方面。对于无穷维Hamilton系统保结构算法,仍有许多问题等待人们去研究。 近来,Bridges 和Marsden 等分别从不同角度提出了多辛Hamilton 方程的概念以及相应的多辛格式,针对一些物理或数学模型讨论了它们的多辛守恒格式。本文主要针对正则的长波(RLW)方程和Kadomtsev-Petiashvili(KP)方程给出了多辛格式,并且证明了Runge-Kutta方法和块Runge-Kutta 方法的多辛守恒性。 本文的另一部分是讨论时滞微分方程的数值稳定性。已有大量的工作讨论了一阶时滞微分方程的渐进稳定性,针对Runge-Kutta方法和线性多步法等,分析了它们的数值稳定性。本文针对一种二阶时滞微分方程模型,分析并证明了用Runge-Kutta方法进行数值求解时的GP-稳定和GPL-稳定的充要条件。