几类微分方程的分支计算与稳定性问题

【摘要】： 关于平面上光滑自治系统极限环的分支问题已有很丰富的理论,如Hopf分支,Poincare′分支,同、异宿分支等,并且所得的研究结果在具体的方程中已得到很好的应用.当所研究系统的线性系统的原点是初等中心时,通过计算该系统的Liapunov数可以讨论中心-焦点和极限环分支问题.在考虑平面近Hamiltonian系统的极限环分支问题时要用到它的一阶Melnikov函数表达式. 对于平面上的非光滑系统的极限环分支理论的研究刚刚起步,当一般非光滑系统的线性系统在原点是焦点-焦点型时,已有学者给出了该系统的前几个Liapunov数的表达式.最近文献[33]考虑了扰动闭轨族可以分支出极限环的个数问题. 本论文主要讨论了两个方面的内容,一方面是关于平面上非光滑动力系统的极限环分支问题,它体现在文章的二、三章中;另一方面我们讨论了几个时滞捕食被捕食系统的稳定性、分支等问题,并进行了数值模拟,见本文的四-七章.具体内容如下 在第二章中研究的是一类平面非光滑Lie′nard系统的原点处分支出的极限数目问题,通过引入变换和构造Poincare′回归映射给出一种计算该类系统的Liapunov数的一种算法.通过阅读文献[21], [23],结合一些新的技巧和方法,利用Liapunov数的表达式,给出可以判定某些系统分支出极限环个数的一些定理.然后利用这些定理,讨论了几个具体的例子. 第三章里,类似于应用平面上的光滑Hamiltonian扰动系统的一阶Melnikov函数表达式,可以讨论该系统可以分支出极限环的个数,我们应用新的技巧推导出了一类分段Hamiltonian扰动系统的一阶Melnikov函数表达式,对一些具体系统应用我们算出的表达式,可以知道加小扰动后系统可以分支出的极限环的数目. 在第四章里文献[42]和[43]考虑了一类具有收获和年龄结构的捕食被捕食系统,它们对系统的特殊情形进行了讨论,我们讨论了一般情形下系统正平衡位置的局部稳定性和全局稳定性问题.第五、六章是通过构造合适的Liapunov函数和泛函,我们讨论了两类捕食被捕食系统的稳定性问题. 第七章考虑的是一个具有时滞和被捕食者带有扩散和避难的生物数学模型,应用Routh-Hurwitz引理,我们分析了系统正平衡位置的局部稳定性和分支出周期解的条件,把系统转化成标准型并应用中心流形定理,我们给出了判断Hopf分支的方向和分支出周期解的稳定性的表达式.最后应用数值模拟的方法,我们考虑了系统在脉冲扰动下的分支现象. 本文的主要创新之处: 1.给出了确定平面非光滑Lie′nard系统在原点处的焦点阶数和环性数的方法. 2.推导出了分段Hamiltonian扰动系统的一阶Melnikov函数表达式. 3.对一些改进的生物数学模型进行稳定性分析和数值模拟.