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两类Lienard系统的Hopf分支和一类近Hamilton系统尖点环的扰动分支

田云  
【摘要】: Hilbert第16个问题的第二部分是找出任一n阶多项式系统中极限环的最大个数及其分布.很多年来,对这个问题的研究已经取得了很多的成果,特别是对二次和三次多项式系统.但是,直到现在这个问题还没有完全的解决,即使是对于n=2的情况也没有.极限环是由分支产生,这些分支包括Hopf分支、同宿分支、异宿分支、Poincare分支等.近些年来,非光滑动力系统极限环的研究也有了长足的发展,也取得了一些基础性的成果. 本论文共分五章,各章内容简介如下: 第一章为引言,主要介绍了所研究课题的来源与现状,以及本论文中所使用的研究方法和得到的主要结论. 第二章为基本引理,主要是为本论文中的几个基本引理给出了详细证明,这些引理在主要结论的证明当中起着重要作用. 第三章为光滑Lienard多项式系统的Hopf分支.首先用新的方法重新证明了Lienard多项式方程在中心点的Hopf环性数是这里qn(x)是n次多项式且qn(0)=0;然后将新方法应用于更一般的Lienard多项式系统这里pm(x)为m次多项式且pm(0)≠0,得到其在中心附近的局部极限环最大个数的上界为特别,当m=n=1、2、3、4时,我们得到系统(2)在中心点的Hopf环性数是2n-2. 第四章为非光滑Lienard系统的Hopf分支.这里我们结合使用了第二、三章中的证明方法,主要研究了非光滑多项式系统 其中得出系统(3)在原点的Hopf环性数是若m≥n,或者若nm. 第五章为一类近Hamilton系统尖点环的扰动分支.我们主要研究近Hamilton系统这里P3(x,y)和Q3(x,y)是三次多项式,通过已知定理计算一阶Melnikov函数,从而得到该系统在尖点环附近能产生5个极限环. 本论文的主要创新在于,在系统(1)的研究中,通过变量变换证明函数的线性无关性,从而得到证明了结论所需要的条件,这与文献Petrov[11]中所用的复分析的方法有很大的不同.并且,我还将这方法成功地应用到多项式系统(2)和非光滑Lienard系统(3).


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