两类时滞微分方程周期解的多尺度近似方法及其计算

【摘要】： 科学技术日新月异的发展使得各个学科领域均提出了复杂的数学模型以揭示事物的本质.非线性问题的研究日益成为当前科学研究的热点,分歧是一种常见的重要的非线性现象,在非线性科学的研究中占有重要地位.Hopf分歧在非线性振动中起着至关重要的作用.二十世纪以来,自然科学与社会科学的许多学科中提出了大量时滞动力学问题,近年来,时滞动力系统已成为许多领域的重要研究对象,和常微分方程所描述的动力系统不同，时滞动力系统的解空间是无限维的,其理论分析往往很困难.因此,研究时滞微分方程是一个很富有挑战性的方向.周期解是时滞动力系统中的重要部分,而数值计算已成为研究周期解性态的一个重要方法.研究时滞微分系统Hopf分歧点,周期解及其分歧的解析近似与数值模拟是一个有着很强应用背景的课题. 我们在本论文中研究了两类具有很强代表性的时滞微分方程.第一个是有生态学背景的时滞Logistic模型，这是一个一阶时滞微分方程,模型相对简单但动力学行为丰富.第二个是振动力学中常见的阻尼振子模型,这里我们考虑的是含时滞反馈的该类模型,其参数较第一类模型多,而且是二阶方程,增加了分析的难度. 针对这两类模型,首先我们在]Hopf分歧点附近采用多尺度近似方法求得近似周期解,然后分别利用多尺度分析结果研究了周期解的稳定性.与人们常用的中心流型约化方法比较,采用该方法的好处在于近似求解过程与稳定性分析能够统一起来,而不需要再借助其他的工具.多尺度分析已是工程力学中一类重要的方法,而我们的分析结果与模拟结果也说明了将该方法用于时滞微分方程的有效性.最后,关于周期解产生后的动力学现象,我们借助数值模拟手段,探讨在时滞微分方程这样一类无限维解空间系统中是否存在类似于离散系统的Feigenbaum常数,该类常数能用于分析模型的倍周期分歧过程.