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有界约束非线性不定方程组的仿射内点信赖域方法

袁液  
【摘要】: 不定非线性方程组概念是对于方形非线性方程组概念的推广,方形非线性方程组可以视为不定非线性方程组的一种特殊情况。所以,研究解决不定方程组的算法就具有更一般性的意义。本文主要分析带有盒子约束的不定非线性方程组问题,通过结合仿射变换,内点回代法以及信赖域方法,给出相应的仿射内点信赖域算法。 在信赖域方法中,信赖域子问题的构建仍是一个值得研究的课题,尤其是仿射内点信赖域问题。而现实问题中,比如处理不定方程组时,往往会产生最优解不满足严格互补条件的情况,这就削弱了算法的应用性。而本文在借鉴原有的信赖域方法的基础上,通过将原问题构建或转化为简单有界约束的非线性优化问题,并在此基础上,引入指示函数及其对应指示集合的概念,基于欧式范数意义下,构建信赖域子问题。通过指示函数的性质以及强二阶充分条件的假设,本文提供的算法在严格互补条件不成立的情况下,根据文中提供的仿射尺度,可以给出比较好的全局收敛性效果,从而使得算法的应用性得到加强。 此外,线搜索方法也是保证最优化问题的整体收敛性的基本策略。本文也结合线搜索方法,嵌入到信赖域算法中,从而不仅使得算法具有整体收敛性,而且能够克服高度非线性的病态问题。在给出欧式范数意义下的仿射尺度内点信赖域算法后,我们利用数学软件Matlab进行数值实验,结果表明算法的有效性。 全文共分五章。第一章简单介绍最优化理论的背景和基本概念。第二章和第三章阐述提出处理不定方程组和不定方程和不等式组的的非单调仿射内点信赖域方法。在合理的假设条件下,证明算法的全局收敛性和局部超线性收敛速率。第四章给出欧式范数下,算法的数值实验。


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