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随机中的分数阶微分方程的数值计算

郭鹏  
【摘要】:本文共七章,主要包括了以下五部分内容:分数阶微积分的中值定理、白噪声驱动的分数阶微分方程的数值解法、分数阶Langevin方程的数值解、分数阶Fokker-Planck方程和分数阶Rayleigh方程的数值解以及算法的稳定性收敛性分析. 第一章简要地介绍了分数阶微积分的发展状况,分数阶微积分的基本定义和性质,以及分数阶随机微分方程的研究背景. 第二章研究了分数阶中值定理,主要研究了在Riemann-Liouville、Caputo以及序列分数阶导数意义下的中值定理,并给出了在上述分数阶导数意义下的Cauchy型中值定理的形式. 第三章研究了由白噪声驱动的分数阶随机微分方程,给出了相应的的数值算法,将结果与Laplace变换所得到的结果作比较,证实了所给算法的有效性.随后将之推广到了一般意义下的线性和非线性分数阶随机微分方程,并进行了数值计算. 第四章考察了分数阶Langevin方程,对由分数阶布朗运动驱动的分数阶Langevin方程进行了研究,从数值结果我们得到了平均位移和均方位移.从得到的数值结果我们可以看出到数阶Langevin方程能够反映出反常扩散现象,而经典的Langevin方程只能描述正常的扩散.同时对于不同条件下如带外力和不带外力的分数阶Langevin方程进行了数值研究. 第五章研究了分数阶Fokker-Planck方程,给出了相应的数值计算格式,用卷积法和差分法相结合,来处理分数阶Fokker-Planck方程.在空间方向上用差分格式,具有二阶精度.时间方向上用卷积法来处理,对于一阶卷积法,我们给出了算法的稳定性和收敛性,使得整体的收敛阶为O(h2+τ),对于二阶卷积法,能使得在时间方向上的精度进一步提高,在满足一定条件地基础上,在空间和时间两个方向上的收敛阶都能达到O(h2+τ2),最后我们通过算例来验证算法的有效性. 最后本文研究了分数阶Rayleigh方程,和研究分数阶Fokker-Planck方程类似,用卷积法和差分法相结合,来处理分数阶Rayleigh方程.在速度方向上用差分格式,具有二阶精度.时间方向上用卷积法来处理,对于一阶卷积法,我们给出了算法的稳定性和收敛性,最后我们通过算例来验证算法的有效性.


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