Lie群在离散动力系统的应用研究

【摘要】：本文利用Lie群理论研究离散动力系统的对称性。建立和完善离散动力系统的对称性理论,这些动力系统主要包括离散Chetaev型非完整动力系统、离散Hamilton系统、机电动力系统和离散Birkhoff系统等。论文内容主要分为四部分： 第一部分包括第一章和第二章，论述了Lie群理论的研究状况，阐明了论文的立题目的和意义,介绍了研究的主要内容和创新点。接着定义离散变量空间下变换Lie群和格子方程的不变性，同时给出离散Euler算子和离散极值方程的定义。 第二部分主要包括第三章和第四章内容，引入时间和广义坐标的无限小变换，给出不同格子下离散Chetaev型非完整系统的广义Euler-Lagrange方程。基于离散变量下Chetaev型非完整系统的Hamilton作用量和格子方程在无限小变换下的不变性，得到了Chetaev型非完整系统离散形式的Noether恒等式、Noether定理和Noether守恒量，建立了离散Chetaev型非完整系统的Noether对称性理论；基于离散变量下Chetaev型非完整动力系统的动力学方程和格子方程在变换Lie群下的不变性，得到了离散变量下Chetaev型非完整动力系统的Lie对称性确定方程、Lie对称性定理和离散形式的Noether守恒量，建立了离散变量下Chetaev型非完整动力系统的Lie对称性理论。在无限小群变换下研究Euler-Lagrange方程的Mei对称性，给出离散变量下Chetaev型非完整动力系统Mei对称性的定义、判据和定理，建立离散Chetaev型非完整动力系统Mei对称性理论。接着引入时间，广义坐标和广义动量的无限小变换，将变换Lie群应用于离散Hamilton系统，基于离散Hamilton系统动力学方程在变换Lie群下的不变性，得到了离散Hamilton系统的Lie对称性确定方程、离散Lie对称性定理和离散形式的守恒量等，建立了离散完整和非完整非保守Hamilton系统的Lie对称性理论。 第三部分包含第五章，主要内容是将变换Lie群应用于离散完整和非完整机电动力系统，提出了离散机电动力系统的Euler算符和离散空间下的Lie变换群，建立了规范格子和非规范格子下离散完整机电动力系统的运动方程；基于离散机电动力系统的Hamilton作用量和格子方程在变换Lie群下的不变性，建立了离散机电动力系统的Noether对称性理论；基于离散完整机电动力系统的动力学方程和格子方程在变换Lie群下的不变性，得到了离散机电动力系统的Lie对称性确定方程、离散Lie对称性定理和离散形式的Noether守恒量，建立了离散完整机电动力系统的Lie对称性理论。在非完整机电系统动力学方程（格波罗瓦方程）的基础上，基于非完整机电动力系统的扩展Hamilton作用量在变换Lie群下的不变性，得到了非完整机电动力系统的广义Noether恒等式、广义Noether定理、Killing方程和Noether守恒量，建立了非完整机电动力系统的广义Noether对称性理论；基于非完整机电动力系统方程在变换Lie群下的不变性，得到了非完整机电动力系统的Lie对称性确定方程和结构方程，建立了非完整机电动力系统的Lie对称性理论和Lie对称性理论逆问题。建立离散非完整机电动力系统的方程，建立了离散非完整机电动力系统的Noether对称性理论和Lie对称性理论。 第四部分包括第六章，主要内容是将变换Lie群应用在离散Birkhoff系统，以离散Pfaff作用量代替Hamilton作用量，研究它们在无限小群变换下的不变性，建立离散自由Birkhoff系统和离散约束Birkhoff系统的Noether理论。基于离散自由Birkhoff系统方程和离散约束Birkhoff系统方程在变换Lie群下的不变性，得到离散自由Birkhoff系统方程和离散约束Birkhoff系统的确定方程、离散Lie对称性定理和离散形式的守恒量等，建立了离散自由Birkhoff系统方程和离散约束Birkhoff系统的Lie对称性理论。讨论了离散Birkhoff系统的Noether对称性与Lie对称性之间的关系。