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复杂网络上的传染病传播动力学研究

祝光湖  
【摘要】:传染病一直是人类健康和生命的严重威胁,研究传染病的传播机理进而采取有效措施来控制其流行具有重大意义。传染病动力学是通过数学模型从理论上分析和研究疾病传播的科学。传统的传染病模型主要是针对均匀混合人群,因此无法描述具有显著异质性的大尺度社会网络中的传染过程。事实上,因为群体水平的疾病传播主要是通过社会接触网络进行的,利用复杂网络理论建模能进一步细化有关的机制,因而更符合实际。这十年随着复杂网络理论的发展和成熟,采用复杂网络理论与流行病学相结合的方法已成为传染病动力学建模的主要趋势,相应的研究也越来越受到关注。为了更好的认知和控制传染病,本文在前人工作的基础上,针对具有网络特征的人群结构,利用流行病动力学,复杂网络以及微分方程定性和稳定性理论和方法,采用平均场近似,建立了不同类型的动力学模型,并对其进行了深入细致的研究。主要的研究工作包括以下几个方面: 1.在异质网络上提出了一个具有非线性传染力的一般化的传染病SIS模型,并且分析了模型的动力学行为。针对网络传染病在数学理论上缺乏系统动力学理论分析和证明的情况,我们通过构造比较方程和迭代序列,证明了无病平衡点和地方病平衡点的全局吸引性,而且证明的方法比原有的更直观简洁。 2.首先推广了1976年Lajmanovich和Yorke的一个证明模型持续生存的定理,该推广定理可以很好地用于证明网络传染病多仓室模型的疾病存在性结论。接着建立了网络上的SIRS数量模型和带出生和死亡的SIR数量模型,并且分析了模型的传播阈值和动力学性态,发现平均免疫时间对阈值没有任何影响,但它的增大会很大程度上降低疾病发生率和最终染病规模。 3.建立了异质网络上一个具有一般形式的传染病模型,包含了SIS、SIR、SEIS、SIRS、SEIRS等各类模型在内,理论证明和数值验证了模型的全局稳定性,并作了参数敏感性分析,发现基本再生数与网络的异质性成正比,一般情况下感染的时间长度比潜伏的时间长度对基本再生数影响更大,而且度大的节点更容易被感染。 4.在网络上的传播动力学中,权重往往表示节点之间的亲密程度。因为随着疾病的蔓延,人们会采取相应的保护措施,由此我们提出了“自适应权重”,即权重随着感染密度的增大而减少,并建立了一个带个体出生和死亡的SIS模型,分析了固定权重和自适应权重对疾病传播的影响,结果发现权重的自适应性并不会改变传播的阈值,但会很快降低染病规模。 5.建立了一个反映三个种群(人、媒介和动物)相互作用的网络传染病模型,其中媒介连接了人网络和动物网络。通过数学分析,我们求出了疾病的基本再生数,证明了无病平衡点及地方病平衡点的全局稳定性,数值分析了各个网络以及不同的传播率对基本再生数和最终感染规模的影响,并根据所得结论给出了控制疾病的有效方法。 6.提出了一个由两个子网络相互耦合而成的关联网络,通过平均场近似,建立了关联网络上的疾病传播SIS模型,分析了模型的全局动力学行为,并且研究了网络结构和疾病参数对传播能力的影响。我们发现网络的相互依赖特性强烈地影响着疾病传播阈值和爆发规模。结果表明,如果接触模式中有一个或多个是异质的话,那么基本再生数随着网络规模的扩展而迅速增大。进一步地,子网的内部接触和内部感染对基本再生数的影响都要比子网之间的大得多,特别地,相互关联网络比单个网络和二部图网络更容易引发疾病的爆发。


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