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若干分数阶微分方程的谱方法

杨宇博  
【摘要】:分数阶微分方程指的是含有分数阶导数或分数阶积分的方程,而分数阶导数(或积分)是经典的整数阶导数(或积分)的推广.本文主要研究若干分数阶微分方程的谱方法.首先,本文针对有界区域上的带有Coimbra型变阶时间分数阶导数的MIM-AD(mobile-immobile advection-dispersion)模型设计了一套有效的高精度数值算法.该模型常用于模拟集水区和河流中的溶质输运问题.基于Jacobi多项式的性质,给出了逼近Coimbra型变阶分数阶导数算子的有效的递推算法.再根据上述算法,在时间和空间上都采用谱配置法数值求解变阶分数阶MIM-AD模型.最后,给出了充分的数值算例来验证算法的有效性,并与其他方法相比较,显示了本方法的高精度.其次,本文针对半无界区域上的多项变系数分数阶线性和非线性微分方程提出了两种新的,高效的分数阶谱配置方法.方程中的分数阶导数算子既可以是Caputo型的,也可以是Riemann-Liouville型的.第一种方法基于广义Laguerre-Gauss型积分节点上的Lagrange插值.该方法可以通过两种格式实现:第一种格式基于广义Laguerre多项式的三项递推公式及其导数的递推公式;而第二种格式直接基于广义Laguerre多项式的分数阶积分公式和分数阶导数公式.第二种方法基于广义Laguerre-Gauss-Radau积分节点上的Birkhoff插值.该方法通过给出分数阶Birkhoff插值多项式,并以此为基函数给出一种新的配置格式.通过调整方法中的参数,可以显著的提高这两种方法的效果.此外,这两种方法都易于推广到求解变阶的分数阶微分方程.最后,给出了充分的数值算例来验证这两种方法的有效性和谱精度.接着,本文将Legendre Galerkin-Chebyshev配置方法(LGCC方法)应用于求解有界区域上的一类广义分数阶Burgers方程.该方法基于Legendre-Galerkin变分形式,但是非线性项和右端源项采用Chebyshev-Gauss插值.通过引入与分数阶算子有关的空间,对方程的全离散格式进行了稳定性和收敛性分析,并得到了 L2模下的误差估计.数值算例验证了该方法的稳定性和有效性.最后,本文将LGCC方法应用于求解有界区域上的带有分数阶非线性项和扩散项的的空间分数阶Burgers型方程.通过引入与分数阶算子有关的空间,对模型的半离散格式和全离散格式都进行了稳定性和收敛性分析,并得到了 L2模下的误差估计.数值算例验证了该方法的稳定性和有效性.


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