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高维耦合传染病网络系统的稳定性研究

杨攀  
【摘要】:传染病对人的身体和人类社会均带来不可低估的损害,研究传染病的传播机制以及传染病的防控一直是重要的研究课题。在传染病传播过程中,人的行为方式对于传染病的传播起到关键的作用,尤其是一种有序且规范的行为模式对于阻止传染病进一步蔓延和扩散至关重要。而使得人群快速形成统一且规范的行为模式就是本文所要考虑的一个方面,即由传染病传播诱发的控制行为同步。对于传染病本身的防控也是重中之重,因此本文还将就传染病系统的控制策略进行探讨。本文主要研究内容如下:1.基于淬火平均场方法,建立了反馈控制的传染病-同步模型,利用染病者和易感者的信息来设计两种不同的反馈控制器,以此实现两类不同的行为同步模式。不同于其他反馈控制策略,这里的控制器只有在疾病传播时才会被激活对行为实施控制作用。此外,在传染病系统中考虑了接触抑制的作用,即人与人接触的愿望同时受到疾病信息和个体行为差异的影响。通过理论分析,求得传播阈值并证明了无病平衡点的稳定性。而在外加反馈控制作用下,获得了实现行为同步并同时确保正平衡点全局稳定性的充分条件。从中可以发现,当传染率大于传播阈值时,疾病爆发形成稳定的地方病,且给定适当的控制强度,就可以实现预期的行为同步目标。由此可知,在发生传播的同时,通过及时的外加干预,可以促使人们的行为快速达成一致,进而共同对抗疾病,阻止疾病进一步传播。2.研究了具有斑块扩散效应传染病传播引发的分簇行为同步问题。建立了以恒定种群数为基础的斑块扩散传播系统与分簇行为同步网络系统的混合模型,其中行为网络的簇的数目和斑块数相同,但是分簇的方式并非依据节点的空间位置,而是对关系网络进行划分。利用每个斑块中的疾病信息以及总的行为差异来设计反馈控制器,经由理论分析,证明了斑块系统的稳定性,并且在传播的前提下,分析得到确保地方病平衡点全局稳定并实现分簇行为同步的充分条件。从中得到,在疾病爆发时,各子群的行为趋同性与斑块扩散效应以及子群的关系结构均有关,通过适当强化子群中的关系,进而实现分群的行为趋同。3.研究了有向网络上的非线性发生率传染病系统的最优控制问题。基于入度、出度的性质,建立了带出生死亡的传染病模型,其中网络中的空白位置被当作新的出生输入,而且为了反映饱和接触率的效果,考虑了受心理效应影响的非线性发生率。首先对系统的平衡点的稳定性进行了理论分析,得到局部和全局稳定的结论。然后,构建了相应的控制系统,利用最优控制理论,分析获得动态的最优控制策略及其最优控制系统。为了验证理论结果,提出了几个数值例子,并数值求解了最优控制系统,实现最优控制的目标。


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