带复乘椭圆曲线的Iwasawa理论

【摘要】：椭圆曲线的Iwasawa理论建立了椭圆曲线的算术对象即紧致Selmer群,和分析对象p-adicL-function之间的联系。对于复乘情形,研究结果已经比较丰富,特别是Katz, Mannin-Vishik等人都给出了二元p-adic L-function的构造,之后Yager建立了p-adic L-function和某种Iwasawa module(局部单位modulo椭圆单位)之间的关系；之后Rubin彻底证明了复乘情形的主猜想,其证明实质上使用了本原的p-adic L-function。但Katz等人构造的p-adic L-function并不是本原的,也就是说这个p-adic L-function在一般情形只是解释了非本原Heche L-function在特殊点的值。根据主猜想的形式,以及Rubin对于主猜想的证明,我们需要一个本原的p-adic L-function。 本文中我们利用Yager证明的一个关于Eisenstein-Kronecker级数的同余式,构造了本原的p-adic L-function,并在Yager工作的基础上对经典椭圆单位做了修正,证明了类似的结果：这个本原的p-adic L-function刚好是某种Iwasawa module(局部单位mod修正椭圆单位)的特征元。进一步我们继续证明了这个本原的p-adic L-function的μ不变量为0,从而结合主猜想得出椭圆曲线上一个重要算术对象的模结构的信息：某种紧致Selmer群的μ不变量为零。全文共分十一章,具体内容如下： 第零章是介绍,简单阐述了一些预备知识和本论文的主要结果。 第一章是符号,进一步将本文所需要的数学背景与符号详细列出,并不加证明地引入了一些经典结果,包括椭圆曲线,形式群,与类域论等部分。 第二章回顾了Coleman形式幂级数的定义与性质,并证明了在构造p-adic L-Function过程中关键性的定理2.2。在此基础上我们引入了二维对数导数映射,并研究了它的性质。 第三章定义了椭圆单位,并研究其性质。首先我们引入了一个基本的有理函数,作适当变形之后我们研究了它的函数方程,然后在某些torsion点处赋值就得到椭圆单位。我们对椭圆曲线的G rossen character在不同幂次处的导子可能不同的情况统一作处理,这一技术的引进使得下文中关于p-adic L-Function的构造可以是本原的。最后我们证明并找到椭圆单位对应的Coleman形式幂级数(Theorem 3.4)。 第四章我们首先建立了Eisenstein-Kronecker级数和Hecke L-Function之间的关系,然后将Eisenstein-Kronecker级数与上一章所定义的有理函数的高阶对数导数联系起来。最后通过它我们引入了Yager定义的p-adic period,以及他的关于不同维数Eisenstein-Kronecker级数之间的一个重要同余式。 第五章利用p-adic测度的r变换将第二章中证明的二元形式幂级数与第三章中定义的椭圆单位的高阶对数导数联系起来,定义了两个重要的从局部单位群到二元形式幂级数环的∧-同态,并阐明二者之间的关系,初步建立了局部单位和p-adic测度之间的桥梁。 第六章证明了本文的第一个主要结果Theorem 0.1.我们利用第四章关于Eisenstein-Kronecker级数的结果和同余式,将二维对数导数映射作用于椭圆单位的二维形式幂级数,得到本原的Hecke L-Function的特殊点值。结合第五章的两个∧-同态,我们构造出本原的p-adic L-Function (Theorem 0.1),并研究其和椭圆单位的部分联系。 第七章证明了本文的第二个主要结果Theorem 0.2.我们研究了Iwasawa module(局部单位modulo椭圆单位)的结构,并通过第六章关于本原的p-adic L-Function和椭圆单位的联系的部分结果完全证明了这个本原的p-adic L-Function刚好是某种Iwasawa module(局部单位mod修正椭圆单位)的特征元。 第八章研究了二维p-adic测度的一些性质,讨论了二维r-变换与形式幂级数之间的联系。 第九章证明了本文的第三个主要结果Theorem 0.3。我们首先利用第八章的工具,将二维r-变换化简至一维Γ-变换,再引进Sinnott, Gillard, Schneps等人发展的关于有理函数的一维Γ-变换的结果,最后通过分析第三章中定义的有理函数的极点和留数信息,证明了第六章构造的本原p-adic L-Function的μ不变量为0,从而结合主猜想得出椭圆曲线上一个重要算术对象的模结构的信息。 第十章讨论了本文和一些未解决的公开问题的关系。首先简单介绍了椭圆曲线的非交换Iwa-sawa理论,及建立非交换主猜想所需要的mH (G)-猜想。然后阐明了μ不变量在这一猜想中的重要作用。利用本文所构造的本原p-adic L-Function的μ不变量为零这一事实,将mH(G)-猜想等价到分圆μ不变量为零的猜想,并对以后的工作提出一些思路。