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复形的结构与模的Gorenstein维数

杨春花  
【摘要】:Gorenstein同调代数是一种相对同调代数,自1969年起,已得到越来越多的专家学者关注。在交换Noether环上,Foxby, Golod和Vasconcelos分别对半对偶化模(以不同的名字)独立地进行了研究;之后White等人在一般的交换环上对半对偶化模进行了研究;2007年HOlm在一般环上给出了半对偶化模的定义并给出了很多与之相关的结果。现在,与半对偶化模相关的同调性质逐渐成为热点课题。 本文主要研究了某些与半对偶化模有关的复形和与半对偶化模有关的某些Gorenstein同调复形的结构以及某些模的Gorenstein同调维数,并给出了一些的应用。 全文共分四章,除第四章外,R总表示带有单位的交换环。在第四章,除特殊说明,R均表示带有单位的结合环。 第一章是引言,简单地介绍了本文的基本结果和预备知识。 第二章定义并研究了与半对偶化模相关的Gorenstein内射复形和Gorenstein投射复形的概念和结构,推广了Enochs和Garcia Rozas的Gorenstein内射复形和Gorenstein投射复形的概念,得出了任意一个复形做成一个与半对偶化模相关的Gorenstein内射复形的充要条件是这个复形的每个层次的模都做成一个与半对偶化模相关的Gorenstein内射模,关于投射的情况也有相应的结论。最后给出了复形的与半对偶化模相关的Gorenstein内射维数与它的各层次上模的与半对偶化模相关的Gorenstein内射维数之间的关系。 第三章主要研究了与BC(R)和AC(R)相关复形的结构,令ε和Q分别是BC(R)和Ac(R)的在同构意义下封闭的子类,εC与Qc分别为HomR(C, E)和C(?)Q这种形式的模类,其中E和Q分别属于ε和Q。我们证明了一个复形X是εC-复形当且仅当它可以写成HomR(C,Y)的形式,其中Y是一个ε-复形,一个复形X是QC-复形当且仅当它可以写出C(?)R Z的形式,其中Z是一个Q-复形,并给出了这一结论和第二章中主要结论的应用。 第四章主要研究了一般环上两类特殊的Gorenstein同调模的性质,一类是特殊的Goren-stein投射模—强Gorenstein平坦模,另一类是特殊的Gorenstein内射模—Gorenstein FP-内射模。利用这些性质我们证明了当限定环是n-FC或交换凝聚时,这两类模的整体维数相等。最后给出了在交换Noether并(?)Krull维数有限的情况下强Gorenstein平坦维数与Gorenstein平坦维数之间的关系,即强Gorenstein平坦维数是有限的当且仅当Gorenstein平坦维数也是是有限的。


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