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二阶振荡微分方程数值方法研究

李计勇  
【摘要】:在纯粹数学与应用数学,以及力学,物理学,天文学,分子生物学等应用科学中常常存在振荡现象。针对这些振荡现象的建模与仿真人们已经做了大量的理论和数值的研究。典型的研究对象是如下二阶振荡系统的数值积分其中M∈Rdxd是对称半正定的矩阵,隐含了该问题的频率。尽管人们已经提出了各种可行的算法并付诸应用。但是,大多数现存的方法都没考虑到问题(1)的特殊结构,所以在实际应用中并不令人满意。我们的工作是设计和研究适应于问题(1)的特殊结构的有效方法。 本论文包括以下几部分: 第一章介绍有根数(Nystrom-树)和B-级数(Nystrom-级数)理论,进而导出经典的Runge-Kutta(-Nystrom)方法的阶条件。B级数理论是本论文的基石。 第二章将ARKN方法从一维扰动振子推广到系统。针对一维扰动振子,Franco[22]提出了ARKN方法并且通过Nystrom-树理论导出阶条件。然而,Franco的阶条件及其推导中存在一些关键的错误。通过本文定义的适应于振荡问题的Nystrom-级数,我们导出ARKN方法正确的阶条件。 第三章提出并研究了一类两步扩展的Runge-Kutta-Nystrom型(TSERKN)方法。该方法沿用了两步混合方法[13]的框架并且在内级和更新级上都考虑了精确流的特殊结构。需要指出的是,TSERKN方法能够精确积分方程y”+My=0,并且当M→0时,退化为传统的两步混合方法。通过定义在树枝集合BT上的BBT-级数和定义在BT的子集BWT上的BBWT-级数,导出了相应的阶条件。本章还构造了三个实用的TSERKN算法,数值实验结果表明,这些算法比近期文献中的一些算法具有更高的计算效率。 第四章构造了一个新的TSERKN方法,并进一步证明该新方法的整体误差界与||M||无关。 第五章给出了适应于振荡问题的新型Falkner方法。该方法扩展了[42]提出的改进的Falkner方法以适应振荡系统(1)(右端函数不含y’的情况)。与TSERKN方法一样,该方法能够精确积分方程y”+My=O。本章的一个重要结果是:当用一个κ步适应性Falkner方法解(1)时,数值解的整体误差界与||M||无关。数值实验结果表明,新型的适应性Falkner方法比改进的Falkner方法更为高效。


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