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增广拉格朗日型算法及其在图像处理中的应用

张文星  
【摘要】:变分不等式问题在经济平衡、交通规划、工程设计等领域有着广泛的应用。目前,已有一系列的求解变分不等式问题的方法,如交替方向法、临近点算法、投影收缩算法、牛顿法和内点法等。各类方法在信息工程、经济管理等诸多领域有着广泛应用。 近年来,作为最优化领域的一个研究热点,稀疏优化被大量应用于信息学、统计学、金融学等学科。稀疏优化可以概括为最优解(本身或在某种变换下)具有稀疏性,它通常有如下三个特点:(1)问题规模大。如信息学中的压缩感应、图像处理;计算机科学中的机器学习等;(2)问题条件“坏”或严重病态。如图像处理中的全变差函数(非光滑)、模糊矩阵(严重病态)等;(3)问题的数学模型有特殊结构。如目标函数有可分性、约束有线性性等。 本文主要是基于变分不等式理论及算法,通过求解图像处理中的稀疏优化问题,来实现图像恢复或图像重建。 在第一章中,我们首先回顾了变分不等式的基本概念和几个重要不等式,详细介绍了求解变分不等式的重要工具——投影的性质。我们在这一章还介绍了一些与图像处理有关的定义和符号。 交替方向法是一类求解有可分结构凸优化问题的有效方法,它在应用领域己取得了相当的认可。经典的交替方向法是针对凸优化问题的目标函数为两个变量的情形。我们称变量多于两个的情形为推广的交替方向法。大量实际应用表明,推广的交替方向法的数值效果显著,然而它的全局收敛性至今悬而未决。在第二章中,我们设计了一个有全局收敛性的三个变量的交替方向法,所设计的方法能达到与推广的交替方向法几乎一样的数值效果。 应用领域中所处理的问题通常具有大规模的特点,并行方式是解决大规模凸优化问题的有效方式之一。在第三章中,我们设计了一个适用于并行处理的交替方向法。我们通过变量分离,把目标函数为m个变量的凸优化问题分解成一系列小规模的子问题,从而实现各个子问题的并行求解。 临近点算法通过在凸优化问题的目标函数中加入临近点项,使得凸优化问题的条件理论上变好。然而经典的临近点算法并不容易实现。在第四章中,针对线性约束的凸优化问题,我们设计了一个新的临近点算法。当目标函数的临近点函数易于求解时,新算法比增广拉格朗日方法更有效,特别地,对图像处理中的稀疏优化问题都能显式求解。 第五章主要是推广的交替方向法的一个应用:带有模糊和信息缺失图像的质地分离问题。我们对已有的质地分离模型做了推广,通过引入变量把推广后的模型转化成一个可分的凸优化问题,利用交替方向法使得每个子问题都能显式求解。


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