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自适应连续内罚有限元方法和自适应多罚间断Galerkin方法

周振华  
【摘要】:本文研究了连续内罚有限元方法(包括连续多罚有限元方法)和多罚间断Galerkin方法的自适应算法的收敛性和拟最优性.在第二章中,我们研究了椭圆问题的自适应连续内罚有限元方法.连续内罚有限元方法采用和有限元方法同样的离散空间,但在双线性形式中增加了对离散解在单元交界面的法向导数跳量的加罚项.连续内罚有限元方法已经作为一种稳定化技术成功应用到对流占优问题中,最近又在高波数Helmholtz散射问题的数值模拟中显示了巨大的潜力.跟自适应有限元方法[19]相比,由于加罚项的引入以及弱解H1正则性的限制,理论上产生了一些困难,但我们最终在与自适应有限元方法同样的条件下证明了当加罚参数不大时,自适应连续内罚有限元方法是收敛的,并且收敛率是拟最优的.数值实验验证了理论结果并表明了自适应连续内罚有限元方法的有效性,特别是对带有奇性的高波数Helmholtz问题,该方法优于传统的自适应有限元方法.在第三章中,我们研究了自适应连续多罚有限元方法.对高阶导数的跳量加罚,有助于在用高阶方法模拟高波数散射问题时减少污染误差.采用和第二章类似的技巧,我们同样证明了该方法的收敛性和拟最优性.在第四章中,我们研究了自适应多罚间断Galerkin方法.和标准的自适应内罚间断Galerkin方法[11]一样,我们证明了自适应多罚间断Galerkin方法是收敛的,其收敛率也是拟最优的.与[11]相比,我们引入了额外的高阶导数跳量的加罚项,但对于模型问题弱解的正则性没有额外的要求.因而我们拓展了自适应内罚间断Galerkin方法[11]的结论.在第五章中,我们研究了高波数Helmholtz问题的自适应连续内罚有限元方法.我们证明了当网格足够密时,自适应算法是收敛的.数值实验验证了我们的结果,并给出了算法收敛时波数与网格自由度数目之间的关系.


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