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求解对流扩散方程的全离散局部间断Galerkin方法

王海金  
【摘要】:局部间断Galerkin (LDG)方法自提出以来已经被广泛应用于求解对流扩散方程,并在高阶偏微分方程的数值求解方法研究中取得极大成功,然而相比于数值格式的快速发展和应用,理论研究则相对滞后;相关文献中关于全离散LDG方法的理论分析更是凤毛麟角。在实际计算中,求解发展型方程总是要借助于一定的时间离散方法,因此全离散方法的理论分析至关重要。本文我们将以对流扩散方程为主体,着重研究全离散LDG方法的稳定性和误差估计。本文的主要内容有三章:第二章,我们考虑显式Runge-Kutta(RK)全离散LDG方法(简记为EXRK-LDG)求解带Dirichlet边界条件的对流扩散方程。此时有两个主要难点:一是区域边界处的数值流通量设置方式;二是RK方法每个中间时间层在边界处的设置。不适当的设置方法会影响格式的整体精度。本文将利用能量分析方法,建立三阶EXRK-LDG方法的误差估计,进而给出数值流通量的一种经济有效的选取方法和每个中间时间层的边界设置方法。在这样的设置方法下,可以证明,当时间步长τ满足CFL条件cτ/h≤λc和dτ/h2≤λd时,三阶EXRK-LDG格式在时间和空间上都能达到L2模的最优阶收敛。这里c,d分别是对流项和扩散项系数,h是空间网格尺寸,λc和λd是给定的CFL数。如果对流占优,则显格式的时空限制条件为τ=O(h),显式时间离散方法是一个很好的选择。但是对于扩散占优情形,显式时间离散对时间步长的限制为7-=O(h2),这个条件比较苛刻。为此,我们也将研究一类半隐半显式(Implicit-Explicit,简称IMEX)时间离散方法,对于对流项采用显式离散方式,而对于扩散项采用隐式离散方式。这类时间离散方法能克服显式时间离散小时间步长的限制,可以高效求解扩散占优的对流扩散问题,尤其是扩散部分是线性而对流部分是非线性的情形。第三章,考虑RK型的IMEX全离散LDG格式(简记为IMEX-RK-LDG).从一维线性对流扩散方程出发,通过建立数值解的梯度和跳量与梯度的数值解之间的重要关系,以及IMEX-RK-LDG格式满足的能量方程,我们将利用能量分析方法证明,在时间步长满足τ≤τ0的条件下,几个特殊的IMEX-RK-LDG格式是L2稳定的,这里τ0不依赖于空间尺寸h,只与对流项和扩散项系数有关。严格的分析表明,τ0与扩散项系数成正比,与对流项系数的平方成反比。在这个条件下,我们也将证明IMEX-RK-LDG格式具有最优的L2模收敛阶。第四章,以一维和高维非线性对流扩散方程为模型,研究IMEX-RK-LDG方法和多步IMEX全离散LDG方法(简记为IMEX-MS-LDG)的稳定性和误差估计。其中,第一节通过建立与线性情形类似的LDG空间离散性质,并借助于先验误差假设,得到与第三章类似的结果。第二节将利用能量分析方法证明,在时间步长满足τ≤τ0的条件下,几个特殊的IMEX-MS-LDG格式满足能量范数稳定,且具有最优的L2模收敛阶。第三节通过建立高维空间上数值解的梯度和跳量与梯度的数值解之间的重要关系,得到与第三章类似的稳定性结果,同时,借助于间断有限元空间的椭圆投影,给出高维空间上IMEX-RK-LDG方法的最优L2模误差估计。


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