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梁结构振动响应的小波有限元法实现及应用研究

许佳  
【摘要】:近年来,通过将小波理论引入传统有限元法,形成了一种全新的数值分析方法—小波有限元法。该方法继承了传统有限元法离散逼近以及边界条件处理方便等诸多优点。同时,由于小波函数本身具有多分辨特性,使得小波有限元法能够在不改变网格剖分的前提下提高计算的精度,且算法的稳定性好,运算速度快。 此外,传统有限元法在求解复杂结构的振动响应问题时,计算效率往往会随着精度的提高而急剧降低。为了克服这一困难,本文从工程实践中最为常见的梁模型出发,充分利用小波有限元法的特点,提出了一种高效计算上述问题的解决办法,并为机械动力学领域内的研究工作提供了新的思路。 考虑到Daubechies小波没有解析的数学表达式,本文先以小波分析的基础理论为依据,给出了Daubechies小波的低通滤波系数、函数值及导数值的计算方法。详细推导了小波有限元刚度矩阵及载荷矩阵联系系数的计算方法。而针对计算过程中数值结果会随补充方程个数的不同而改变这一不足,文中以新增一个补充方程的方式,提高了求解过程的数值稳定性以及计算精度。 随后,通过将Daubechies小波尺度函数线性组合而成的基函数代替传统有限元法中的低阶分片差值多项式,构造了一类可用于结构振动响应分析的小波梁单元。再运用该单元分析整个系统的能量,并结合Hamilton原理提出了基于小波有限元法的Bernoulli-Euler梁动力学模型,而后可由Newmark-法求得相应的振动响应情况。 最后,为了验证小波有限元法求解结构振动响应问题的有效性并检验上述模型的计算精度与计算效率,文中对梁的自由振动以及移动集中载荷作用下的受迫振动问题进行了数值实验,并将分析结果与传统有限元模型作对比。研究表明小波有限元法较之传统有限元法在结构总自由度相等的情况下,前者的计算精度更高;而在保证计算精度的情况下,前者大大提高了计算效率,从而为高效计算复杂梁结构动力学问题提供了一种新的途径。


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