关于图的几类标号问题

【摘要】：本学位论文所研究的几类标号问题都是源自于无线电频率分配为背景距离2标号问题.图G的一个κ-L(2,1)-标号就是从V(G)到{0,1,…,κ}的一个映射使得相邻的两个顶点取得的值至少相差p,距离为2的两个顶点取得的值至少相差q.图的(d,1)-全标号问题就是L(p,q)-标号问题衍生出来的一种新的标号问题.图G的一个κ-((d,1)-全标号就是从V(G) U E(G)到{0,1,…,κ}的一个函数使得相邻的两个顶点取值不同,相邻的两条边取值不同,相关联的顶点与边取得的值至少相差d.与(2,1)-全标号类似,图G的一个κ-(2,1)-点面标号就是从V(G)∪ F(G)到{0,1,…,κ}的一个映射使得相邻的两个点取值不同,相邻的两个面取值不同,相关联的顶点和面取得的值至少相差2.本学位论文主要围绕这几类标号问题开展研究,共分为四章.第一章,我们给出了图论的一些基本概念与术语,并介绍了L(p,q)-标号问题以及(d,1)-全标号问题的研究背景和研究进展,同时简要罗列了本学位论文的主要研究结果.第二章,我们主要研究了最大度为3的树的L(2,1)-标号数的刻画问题.首先,我们给出了最大度为3的树的一个结构引理.然后,通过我们定义的一个标号过程,把一些含有特定结构的树定义为好的.最后,我们证明了最大度为3的树的L(2,1)-标号数为△+1当且仅当树T是好的.第三章,我们研究了图的(2,1)-全标号问题,得到了两个第一类(即(2,1)-全标号数是△+1)的树的充分条件：(I)对于△4的树T,如果每一个大点至多与△-3个大点相邻,那么T就是第一类的；(Ⅱ)对于△≥9的树T,如果T中不存在两个距离为偶数的坏点,那么T就是第一类的.此外,我们还证明了外平面图的(2,1)-全标号数至多为△+2.第四章,我们介绍了一个新的概念——图的(2,1)-点面标号问题,并针对几个简单图类给出了其(2,1)-点面标号数的紧的上界,如树、圈、欧拉二部图、K4、外平面图等.另外,我们还刻画了至多含有一个闭内面的外平面图的(2,1)-点面标号数.