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基于无网格配点法的光滑化技术及应用

吴海松  
【摘要】:在无网格方法使用中,由于数值计算时需要求导或者偏导,比如在求应力的过程中会产生较大的误差,因此如何降低这种误差的研究具有重要的学术价值。在处理导数或者偏导时,出现过许多方法,比如有限差分法、利用格林公式将面积分改成线积分等,这些方法都可以对已知的导数或者偏导进行降阶,从而达到更好的效果。这些方法在研究工程问题上都具有非常重要的意义。在配点法的基础上进行光滑化,是一种全新的方法。所谓的光滑化,就是将原来的形函数的导数或者偏导进行降阶,从而达到对无网格法中求导时产生的误差极小化。而配点法最大的好处就是不用进行网格划分,它相当于是求一组偏微分方程,这样离散后得到的就是关于形函数和形函数偏导的一系列方程,通过光滑化处理后可以将偏微分方程组中的导数降阶,从而降低离散微分算子矩阵的阶次,进而得到新的总体刚度矩阵,最终得到精确度更好的数值解。本文分别对采用了光滑化处理的径向基点插值?RPIM?形函数和移动最小二乘近似?MLS?形函数的配点法进行了研究,避免了在形函数求导或偏导时所产生的较大误差。算例包括一维情况中的边值问题、初始值问题、Euler?Bernoulli梁问题及动态变系数热传导问题,二维问题中的Poisson方程、双调和方程以及2?D悬臂梁问题。分别对光滑化前后得到的数值解进行了比较。数值结果表明,一般情况下,在光滑化处理后得到的数值解更加地接近精确解,本文的光滑化方法计算简单,具有较高的精度和收敛性,达到了良好的效果,具有很好的推广价值。


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