基于流形学习的纤维丛学习算法研究

【摘要】： 面对高维、非线性、非结构化的数据,如何从这些数据中找到蕴藏的规律是目前迫切需要解决的问题。流形学习是一种面向这样高维非线性数据的降维方法,它通过找到高维空间中的低维流形,求出相应嵌入映射,达到数据约简目的。纤维丛理论,作为整体微分几何的主要内容,将拓扑学与微分几何结合,是20世纪几何学研究的重要组成部分。它所特有的联系和处理不同几何空间和不同空间几何量的方法,为研究数据集全局与局部关系提供了可行的数学方法。本文将纤维丛理论引入流形学习中,主要做了以下方面工作: 建立了纤维丛学习模型,给出了流形学习下纤维丛表示和基本概念;给出了基于两类典型纤维丛——切丛和主丛——的纤维丛学习模型;给出了纤维丛学习算法,包括基于切丛局部主方向的向量场降维算法和基于切丛联络的主曲线构建算法,实验结果说明了算法的有效性;给出了纤维丛学习算法在模式识的应用。 本文特色主要体现在: (1)给出了纤维丛表示的切丛模型和主纤维丛模型及相关算法; (2)为提出的模型和算法找到了应用范例。