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拟周期碰撞振子的Lagrange稳定性

孙西滢  
【摘要】: 本文讨论拟周期碰撞振子的Lagrangc稳定性。碰撞振子是非线性振动和非光滑Hamilton系统的重要模型之一,它的研究与Fermi-Ulam加速器问题、对偶台球问题、金属断裂学、天体力学稳定性等相关联。拟周期碰撞振子的Lagrange稳定性研究需要应用KAM技巧。 本文给出了解析以及光滑条件下的拟周期扭转映射的不变曲线定理,并利用这些定理讨论了拟周期弹性碰撞振子运动的Lagrangc稳定性。文章有三个主要部分。 一、证明了三个平面拟周期扭转映射的不变曲线定理。 先应用Moser的经典KAM迭代技巧证明了解析的拟周期扭转映射的不变曲线定理。然后根据拟周期频率的不同情形,分别把上述定理推广到平均小扭转和频率有理相关时的小扭转情形。 对于平均小扭转定理,频率只是有理无关,并不满足Diophantine条件,因此我们无法处理小分母问题,这里我们采用经典KAM定理证明中的“截断”方法求解同调方程,给出坐标变换,并把同调方程求解带来的误差直接放在小扰动中,把它转化为一般的小扭转映射,从而得到不变曲线的存在性。 对于频率有理相关时的小扭转定理,我们先分离映射中对应于频率有理相关和有理无关的部分。对于有理无关的部分类似平均小扭转定理的处理方式。有理相关的部分是对应于变换后的映射的主要部分,我们通过Hamilton系统的作用-角变换,并把原系统的角变量作为新系统的时间变量,给出相应的同胚变换,使得变换后的映射满足一般的小扭转定理的条件,从而得到不变曲线的存在性。 二、讨论了解析的拟周期碰撞振子的解的有界性(即Lagraage稳定性)问题。 先考虑了渐近线性拟周期碰撞振子在非共振和共振点附近的解的有界性。首先把碰撞系统转化为具有中心对称向量场的Hamilton系统,再通过Hamilton系统的一系列坐标变换把碰撞问题转化为一可积系统的小扰动问题,变换的过程中我们始终保持向量场的中心对称性,然后运用Poincare映射把它转化为拟周期小扭转映射。接下来,分别应用第二章得到的平均小扭转定理和频率有理相关时的小扭转定理,得到在一定条件下,渐近线性拟周期碰撞振子在非共振和共振点附近的相平面上不变曲线的存在性,从而证明了碰撞解的有界性。 再考虑了一类超线性拟周期碰撞振子的解的有界性,同样先把碰撞系统转化为具有中心对称向量场的Hamilton系统,然后通过作用-角变换以及尺度变换把它转化为一可积系统的小扰动问题,接下来的证明与渐近线性拟周期碰撞振子在共振点附近的情形类似。 三、讨论了光滑的拟周期扭转映射的不变曲线的存在性问题。 在保相交和一定的光滑性条件下,利用Jackson、Moser、Zehnder解析逼近定理构造出一实解析映射序列,利用KAM迭代并在迭代过程中直接进行估计,得到了拟周期映射的不变曲线的存在性。从而对充分光滑的拟周期碰撞振子,在渐近线性和超线性条件下,可证明碰撞解的有界性。


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