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几类拟线性椭圆型方程组的正解

杨国英  
【摘要】:本文讨论几类拟线性椭圆型方程组正解的存在性,多解性和不存在性,我们在第二章研究p-Laplacian方程组的径向正解的存在性,其主要方法是细致的先验估计和拓扑度理论,并用两次同伦映射将问题简单化。 在第三章中,我们考虑带有齐次Dirichlet边界条件的拟线性椭圆型方程组在不同参数范围内正解的存在性,多解性和不存在性,由于该问题具有变分结构,因此我们用变分方法来研究解的存在性,然而,当函数a(x),b(x),c(x)变号时,方程组对应的欧拉泛函在空间W_0~(1,P)(Ω)×W_0~(1,q)(Ω)中无下界,这给我们直接用变分方法在空间W_0~(1,P)(Ω)×W_0~(1,q)(Ω)中找解带来了困难。但是,我们可以证明欧拉泛函在合适的集合S中有下界,因此在该集合中利用变分方法寻找泛函的极小(如果存在)就可以得到原问题的解。在此结论的基础上,我们细致地刻画了纤维映射和集合S(分析知,原问题的解一定落在某个集合S中)以及和它的子集的关系,研究了当参数λ,μ变化时,集合S以及它的子集的结构和变化情况,从而给出正解的存在性,多解性和不存在性。 在第四章中,我们讨论带有齐次Neumann边界条件的拟线性椭圆型方程组(方程和第三章的一样,边界条件不同),研究了正解的存在性和多解性。相对于上一章,我们得到的原问题正解的存在范围更广。在这一章最后,我们讨论的特殊情况,也得到了正解的存在性,这在以前的工作中很少见到。 最后,我们考虑一个源于生态学的拟线性椭圆型方程组的齐次Dirichlet边值问题,利用了参考文献[9]的解藕技巧和方法,巧妙地将方程组化为单个方程,获得了正解的分支结构,并利用分支理论和解的先验估计得到了正解的存在范围。特别地,我们讨论了p=q时的特殊情况,给出了正解的不存在性,存在性和解的结构.


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