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锥模型信赖域算法研究

陆晓平  
【摘要】:在现代企业中,由于受到资源、时间和信息的限制,经济条件具有强动荡与环境复杂的特征.因此,经济系统管理问题也变得更加复杂.运用科学的方法来研究和解决管理问题显得尤为重要.随后一系列合理有效的求解管理问题的方法逐渐发展起来,这些方法称为运筹学.它们在决策过程中发挥了重要的作用. 最优化是运筹学的一个重要分支,不仅在理论上具有重要意义,在实践中也有迫切需求.近年来,随着现代化生产的发展,最优化理论和方法得到了越来越广泛的应用. 信赖域方法是求解非线性最优化问题的一类重要数值计算方法,由于它具有较好的可靠性和很强的收敛性,因而在近几年来受到了优化界的重视.目前,信赖域方法已经应用到约束优化,大规模优化,非光滑优化等各类优化问题.信赖域方法一般采用二次模型来逼近原问题.锥模型是二次模型的推广,可以包含以前迭代过程中的函数信息.对于一些非二次性态强、曲率变化剧烈的函数,用二次函数模型去逼近的效果可能一般,而锥模型去逼近的效果可能好于二次模型.近几年来,锥模型信赖域方法吸引了越来越多的重视和研究. 锥模型信赖域法的一个重要问题是子问题的有效求解. 2005年提出的新锥模型信赖域子问题取消了对水平向量的限制,给出了子问题的一个新可行域,并将其进一步细分为三种情形,从而得到了包括三种情形的新锥模型信赖域子问题,给出了更为一般的最优性条件.本文的主要目的是以新锥模型信赖域子问题为基础研究求解非线性优化问题的一类算法.本文共由八章组成.第一章是绪论.讨论了研究锥模型信赖域法的目的、意义、研究现状和主要研究内容.第二章给出了锥模型信赖域研究的一些预备知识,主要介绍了信赖域法的基本知识和新锥模型信赖域子问题的最优性条件.第三章到第七章是我们的主要研究工作.第三章对锥函数沿最速下降方向的性质进行了分析,并给出了最速下降点的表达式,最后给出了最速下降点要保证锥模型信赖域法全局收敛所满足的下降量性质的证明.第四章对锥函数沿最速下降点到锥拟牛顿点连线上的单调性进行了分析,推导出了新锥模型信赖域子问题解的一般表达式,并给出了解新锥模型子问题的折线法.在此基础上,第五章对新锥模型子问题的参数进行了修正,提出了修正折线法,并构建了锥模型拟牛顿法.第六章提出了解新锥模型子问题的共轭梯度法,研究了其沿锥共轭方向的下降性,从而给出了基于共轭梯度法的锥模型信赖域法.第七章我们利用零空间技术消除了新锥模型子问题中的线性等式约束,用修正折线法求解了转换后的子问题,并给出了解线性等式约束优化问题的锥模型拟牛顿法. 本文讨论和证明了所有提出算法的收敛性,并给出了广泛的数值实验,结果表明这些算法都是有意义的,值得进一步研究.


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