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含时滞的奇异摄动系统的非线性动力学

郑远广  
【摘要】: 对受到奇异摄动的常微分系统已有丰富的研究成果,研究表明这些系统中会出现边界(内部)层、张弛振荡、慢通过效应、记忆效应、危险跳跃、失稳滞后等独特的动力学现象。随着科学技术的发展和对精确度要求的提高,人们发现时滞是普遍存在的,而对受到奇异摄动的时滞微分系统的研究工作还很少。为此,本文基于摄动理论,对受到奇异摄动的非线性时滞微分系统进行系统的研究,特别是对受到奇异摄动的快‐慢时滞微分系统的一些独特的动力学行为进行深入的探讨。 当非线性时滞微分系统的平衡点失去稳定性时,通常会发生Hopf‐分岔而形成周期运动,这是非线性动力学行为。由于Hopf‐分岔是局部动力学行为,所以非线性项可看成是扰动项,这样各种经典的奇异摄动法可被推广用来计算时滞微分系统由Hopf‐分岔而形成的周期解。本文分别用Lindstedt‐Poincaré方法和多尺度法(MMS)对一个新建立的光电系统和一个带时滞的Internet网络系统的局部Hopf‐分岔周期解进行了计算,得到非常简洁的结果,数值检验表明计算结果具有很高的精度。 快‐慢系统是典型的奇异摄动系统,这种系统中含有不同的动力学时间尺度,其最典型的运动是脉冲形式振荡解和簇动形式振荡解。对快‐慢常微分系统的研究已有丰富的结果,但对快‐慢时滞微分系统的研究还很少,还不清楚时滞是怎样影响快‐慢系统的动力学行为的。本文以快‐慢激光系统为模型,讨论时滞对系统动力学行为的影响。研究表明,时滞不仅会使得系统的平衡点失去稳定性而产生一系列的Hopf‐分岔和双Hopf‐分岔,而且时滞会改变系统发生脉冲形式振荡运动的时间,并改变脉冲形式振荡解的特性,使得系统出现更复杂的运动,甚至产生混沌运动。通过细致的计算和分析,给出了系统局部稳定性的二参数平面区域划分图,并指出参数在不同区域中取值对应到系统不同的运动形式,此外还给出了系统发生脉冲形式振荡运动的时间计算公式。 当某些参数变化时,分岔是动力系统中普遍存在的现象。但当分岔参数随时间缓慢变化时,一个有趣的现象是分岔滞后现象。这种现象经常在快‐慢系统中发生,这时慢变量被认为是随时间缓慢变化的分岔参数。常微快‐慢系统中的失稳滞后现象已得到广泛的研究,已有一系列的研究结果出现。但对快‐慢时滞微分系统中的分岔滞后现象,且未见系统性的研究工作。本文基于中心流形和规范型、几何摄动法、稳定切换等理论,对快‐慢时滞微分系统中的失稳滞后现象进行系统的研究。本文利用常微系统中关于分岔滞后现象的一些结果给出了快‐慢时滞微分系统发生分岔滞后的一般性条件,并给出了进入‐逃逸函数的表达式。两个实例分析表明了本文结论的有效性,同时利用Lambert函数的一些性质得到了进入‐逃逸函数的显式表达式。 对含慢变参数的Duffing‐系统的动力学行为进行了考察,发现该系统中存在分岔滞后现象,同时还探讨了其中一些独特的动力学现象发生的机理。时滞微分系统经常由于Hopf‐分岔的发生而失去稳定性,前面的研究表明,当分岔参数随时间缓慢变化时,Hopf‐分岔将会延迟发生,这一现象可以用来提高系统的稳定性。在本文中,通过给分岔参数加上随时间缓慢变化的部分来提高系统的稳定性,实例分析表明这种方法是可行的,且有望在实际工程中获得应用。


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