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复系数时滞系统的稳定性与动态响应分析

李俊余  
【摘要】:含有复系数的时滞微分方程(后文中简称“复时滞微分方程”)在生物、物理以及非线性系统的动力学分析中都有着广泛的应用,尤其在转子系统、光学系统中复时滞微分方程是基本而重要的数学模型.利用复时滞微分方程建模的优点之一是它能够从形式上简化数学模型;其次,如果采用的方法恰当,还可以减少动力学分析中的计算.遗憾的是现有的动力学研究方法大都只适用于实系数的时滞微分方程(后文中简称“实时滞微分方程”),只有极少数的研究方法可以直接用于复时滞系统.因此,通过坐标变换将复时滞系统转化为相应的实时滞系统的做法在复时滞系统的研究中常常被采用,显然这种做法不能使复时滞微分方程建模的优势得到很好的体现.针对这种状况,本文一方面改进和推广现有的方法,使改进和推广后的方法可以直接用于复时滞微分方程,避免复化实的做法;另一方面,针对具体的问题和一些特殊的系统,提出新的方法用于复时滞微分方程的研究.本文的主要内容主要分以下几部分: 首先在绪论部分,主要介绍了复时滞系统的应用、研究现状;以及可以直接用于复时滞系统的动力学分析的研究方法.另外针对这些方法存在的不足之处,提出了本文的研究目标,并对完成目标作了内容上的安排. 本文的第二部分通过深入研究Lambert W函数,用初等函数描述了Lambert W函数的根在复平面上的分布情况.利用这个结果,得到了一阶时滞系统渐近稳定和鲁棒稳定的新判据.由于新判据只涉及到初等函数,所以它比Lambert W函数方法更简单更容易理解.新判据推广和改进了现有文献的一些结论,如将Hayes定理推广到复域上,改进了Shinozaki-Mori的鲁棒稳定性判据等.另外,作为新的鲁棒稳定性判据的一个应用,分析了具有负阻尼和不确定参数的单自由度振子的鲁棒稳定性.通过施加具有解耦作用的时滞反馈,将二阶时滞系统的鲁棒稳定性问题转化成了一阶复时滞系统的鲁棒稳定性问题.依据新的鲁棒稳定性判据,反馈增益和时滞可以很容易的被确定. 对于高阶线性复时滞系统的稳定性,系统的讨论了含单个时滞、含多个可约时滞以及系数和时滞相关的复时滞系统的稳定性.针对含单个时滞的复时滞系统,改进了Lee与Hsu提出的稳定性切换原理,用求一个多项式的导数代替求一个多值的复函数的导数来刻画当时滞穿过临界时滞时,特征方程根的实部的变化方向,然后将这一结论推广到含多个可约时滞的复时滞系统的稳定性分析.另外还验证了改进后的稳定性切换方法对中立型时滞系统同样适用.最后针对系数和时滞相关的复时滞系统,改进和推广了现有的只适用于实时滞系统的稳定性切换的结论. 现有的稳定性判别方法大都只能判定系统的稳定性,而不能判定系统趋向于稳态解的速度,针对这种情况,本文的第四章首先改进了原来只适用于实时滞系统的Hassard稳定性判据,改进后的Hassard稳定性判据不但可以直接分析复时滞系统的稳定性,还可以分析中立型时滞系统的稳定性.然后利用改进后的Hassard稳定性判据提出了一种求解时滞系统特征方程根的最大实部的算法,利用此算法可以很容易的得到时滞系统特征方程根的最大实部,从而可以利用它来刻画系统趋于稳态解的速度. 若外激励作用下的非线性振子含有时滞项,在利用多尺度等摄动法分析共振问题时,通常会得到一个关于振幅的复微分方程,它的非零平衡点对应着原系统的周期解.因此可以通过分析振幅方程非零平衡点的稳定性来讨论原系统周期解的稳定性.但振幅方程在非零平衡点附近线性化后得到的是一个含有未知函数的共轭项,并且系数和时滞相关的线性复时滞微分方程.针对这样一个特殊的复时滞微分方程,现有的文献大都采取近似的方法将其化为常微分方程来处理.在本文的第五章针对这类方程提出了一种新的稳定性判别法,利用此方法无需做这种近似即可以很容易的得到其具有最大实部的特征根.因此利用这种方法不但可以判定非线性振子周期解的稳定性,还可以刻画系统趋于稳态解的速度. 最后是全文总结与展望.


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