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复杂网络的统计性质及其上动力学分析

田亮  
【摘要】:复杂网络理论已经成为人们研究复杂系统的重要方法之一。人们将复杂系统中的个体对象表达为网络中的节点,而将个体之间的相互作用关系表达为网络的连边。实证研究发现,不同领域、不同问题的实际网络往往具有相近的结构特征,并且系统的宏观性质以及各种动力学行为与复杂网络的结构性质密切相关。建立准确地描写实际系统的复杂网络模型,弄清宏观性质与网络结构参数之间的关联是当前理论与应用研究的热点问题。 本论文主要从复杂网络的统计性质和复杂网络上的动力学行为两个方面展开研究,并取得了如下理论研究成果: (1)退化机制引起的集聚系数的普适标度律:我们提出了一种新的网络增长模型,将传统的用于模拟真实网络的退化模型推广到更一般的情况。我们利用主方程理论以及计算机模拟,对该模型生成的网络的拓扑性质进行了系统的研究。结果表明,集聚系数具有简单并且有趣的标度关系。并且该结果可以通过严格的数学解析得到。这个发现可以清楚地解释最近在合作引文网络中观察到的集聚系数的行为,并指明这种集聚系数的标度关系是由网络中的退化机制引起的。此外,通过对模型引入结构微扰,我们发现生成的网络发生了从“大世界”到“小世界”的结构相变,但集聚系数的标度关系在这个过程中保持不变。这意味着这种由退化机制引起的集聚系数的标度关系是普适行为。进一步,我们讨论了退化机制在加权网络中的效应。我们发现基于退化机制的网络演化可以同时得到真实加权网络中的若干性质,如度分布,边权分布以及点权分布的幂律关系,并且集聚系数的普适标度关系在加权网络中同样成立。我们的结果还表明,基于退化机制的网络同时具有层次结构和负的度关联匹配。 (2)无序递归无标度网络的结构以及动力学行为:我们提出一个可解的无序递归无标度网络模型用来模拟真实系统中的自相似性以及小世界性质。通过数学解析以及计算机模拟,我们系统地研究了该网络的结构性质,分形性质,以及维度性质等。结果表明,当引入无序以后,系统的行为相对于有序的情况发生了很大的变化。其中,用来描述无穷维度网络结构的无限分形维度在无序递归网络中表现出非平凡的标度性质。通过讨论在此类网络上的经典扩散过程,我们发现无限分形维度可以清楚的刻画无穷维度网络上的扩散动力学的弛豫行为。 (3)具有连边稀释机制的空间演化博弈:我们在二维方格子上讨论具有淬火和退火两种连边稀释机制的空间演化博弈的行为。对于淬火连边稀释,我们发现在临界连边占有率处,系统经历了一个动力学相变,并且该相变点远远大于二维方格子系统的连边渗流转变点。在临界区域,序参量具有很好的标度关系,其中临界指数在囚徒困境模型中为1.42,而在雪堆模型中为1.52。另一方面,对于退火连边稀释,系统呈现出完全不同的合作行为。我们发现在小的报偿参数和轻微的退火稀释的条件下,系统的合作行为被显著地加强。 (4)网络上演化动力学时间行为的研究:演化动力学是研究演化生物学的数学模型。在这一部分工作中,我们提出了一套研究网络上演化动力学时间行为的简单数学框架。在此基础上,我们从理论解析和数值模拟两个方面系统的研究了演化动力学模型中的突变体固定和突变体扩散的时间行为以及他们之间的关系。为了研究系统结构对于演化动力学时间行为的影响,我们采取如下三种网络结构:全连通图,Bethe格点,和超立方格点。我们细致地研究了突变体和野生型个体之间交界面的构成和标度行为,发现其性质对演化动力学的时间行为具有重要的影响。我们的研究对于深入理解生物演化过程的时间行为提供了理论层次的帮助。


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