基于分数阶拓展算子的灰色预测模型

【摘要】：灰色预测模型是灰色系统理论的重要组成部分,以GM(1,1)模型为代表的灰色预测模型在社会、经济、管理等领域得到广泛应用。研究人员以GM(1,1)模型为基础,做了大量拓展与优化工作,有效提高了模型的预测精度,拓宽了模型的适用范围。本文主要研究基于分数阶算子的灰色预测模型,主要包括以下几方面成果:(1)推导出了用原始序列表达整数阶累加生成算子与整数阶累减生成算子的数学公式,并给出其严格的数学证明。利用Gamma函数是整数阶乘的拓展,将整数阶累加生成算子拓展为分数阶累加生成算子,给出分数阶累加生成算子的解析表达式。一阶累加生成算子与整数阶累加生成算子均是分数阶累加生成算子的特例。研究了分数阶累加生成算子的相关性质。(2)利用Gamma函数是整数阶乘的拓展,将整数阶累减生成算子拓展为分数阶累减生成算子,给出分数阶累减生成算子的解析表达式。实现了整数阶累减生成算子与分数阶累减生成算子在表达式上的统一。一阶累减生成算子与整数阶累减生成算子均是分数阶累减生成算子的特例。研究了分数阶累减生成算子的相关性质。(3)从理论上严格证明了分数阶累加生成算子满足交换律与指数率,同整数阶累加生成算子与累减生成算子满足互逆性。通过随机数值模拟方式,验证了任意阶累加生成算子与累减生成算子满足交换律与指数率,同阶累加生成算子与累减生成算子满足互逆性。互逆的分数阶累加生成算子与累减生成算子为建立分数阶算子灰色预测模型提供了理论基础。(4)基于互逆的分数阶累加生成算子与分数阶累减生成算子,将GM(1,1)模型与离散GM(1,1)模型两大经典灰色预测模型的建模数据从一阶累加生成序列拓展到分数阶累加生成序列,建立了分数阶算子GM(1,1)模型与分数阶算子离散GM(1,1)模型。通过粒子群优化算法,给出两分数阶算子灰色预测模型在最小平均相对误差、最小均方误差下的阶数优化算法。(5)生成齐次指数序列、非齐次指数序列与振荡序列,通过数值模拟方式研究了分数阶算子GM(1,1)模型与分数阶算子离散GM(1,1)模型的建模精度与序列长度、阶数取值、发展系数的关系。