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分数阶灰色预测模型及其应用研究

吴利丰  
【摘要】:自邓聚龙先生提出灰色系统理论以来,灰色建模技术取得了一系列可喜的研究成果。但是作为一门新兴学科,其理论基础有待完善。本文从“提出问题、解决问题、实例验证”的思路出发,将“分数阶”的思想贯穿于文中,深入研究灰色建模技术,以期丰富和完善灰色系统理论。主要研究工作如下:(1)利用矩阵扰动理论证明了灰色一阶序列累加方法在扰动相等的情况下,原始序列样本量较大,解的扰动界较大,样本量较小,解的扰动界较小。从稳定性的角度考虑,当样本量较小时,所建模型相对稳定。为进一步降低扰动界,提出了分数阶序列累加,从新信息是否优先、初值是否利用、单调性、稳定性和还原误差大小这5方面比较分数阶累加模型和传统一阶累加模型的差异。(2)针对缺乏统计规律的小样本预测系统,如何挖掘其发展规律,一直是学术界的难点。本文依据分数阶微积分理论,将整数阶导数灰色模型推广到分数阶导数灰色模型,并从是否满足新信息优先原理、初值利用情况、还原误差大小和稳定性等方面说明了新模型的优势,以期用Caputo型分数阶导数的记忆性描述小样本预测系统。实例表明含有Caputo型分数阶导数的灰色预测模型的有效性与实用性。(3)通过矩阵扰动理论分别证明了:经典弱化缓冲算子、变权弱化缓冲算子和普通强化缓冲算子的新信息优先性,从新信息优先的角度比较了这三种缓冲算子,并讨论了样本量与缓冲作用之间的关系。针对传统缓冲算子不能实现作用强度的微调,从而导致缓冲作用效果过强或过弱的问题(n阶缓冲算子的缓冲效果过弱,而n+1阶缓冲算子的缓冲效果可能过强),借助矩阵计算方法,构造的分数阶经典弱化缓冲算子可以实现缓冲效果随着阶数的改变而改变。针对多个变量构造缓冲算子的问题,提出了多元缓冲回归模型。利用非齐次线性方程组的扰动理论证明了多元缓冲回归模型充分考虑每期数据的优先性,即在扰动相等的情况下,越新的数据发生扰动,参数估计值的相对扰动界越大;样本量较小时,多元缓冲回归模型的缓冲作用较为突出。能源预测的实例说明了多元缓冲回归模型的有效性和适用性。(4)分析了现有各种灰色关联度的适用性,基于不同视角,分别提出面向时间序列的分数阶灰色关联度、面向横截面数据的灰色相似关联度和针对面板数据的三维灰色凸关联度。讨论了它们各自的性质,通过实例说明了它们的有效性和实用性。(5)提出了相似信息优先的复杂装备费用预测模型,可用于样本费用与系统指标之间存在较强的线性关系的情况;从理论上证明了基于相似关联度的GM(0,N)模型的建模原理,可用于样本费用与系统指标之间线性关系较弱的情况;通过实例说明了新型GM(1,1)模型在复杂装备维修费用预测中的实用性和有效性。


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