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关于含均匀应力应变夹杂的二维问题研究

戴明  
【摘要】:夹杂常被用于指代复合材料中的颗粒或纤维,关于夹杂问题的研究极大促进了颗粒或纤维增强复合材料的力学分析和设计。近年来,有学者提出了一种含特殊形状夹杂的复合材料,这些形状可以保证相应的夹杂在均匀外载荷作用下获得均匀的应力应变。这种含特殊形状夹杂的复合材料已被证实在给定夹杂体积含量的情况下可获得最优的整体性能。另一方面,夹杂内部应力应变的均匀性也有效降低了界面的应力集中从而减小了界面开裂的可能性。因此,对此类含特殊形状夹杂的复合材料的研究具有重要的实际应用价值。然而,想要建立这种确保均匀应力应变的夹杂形状并不容易,因为通常的力学方法(不论解析或数值)只适用于在夹杂形状已知的情况下求解复合材料中的应力应变场,而并不适用于这种以夹杂形状作为未知数的逆问题。纵观近几十年的力学研究文献,也仅能发现极少数用于求解此类逆问题的方法,所以有关含均匀应力应变夹杂形状的解法研究将进一步促进当前应用数学与力学的发展。本文针对二维变形(即反平面剪切、平面应力或应变)提出了一种用于建立多个含均匀应力应变夹杂形状的新方法,这种方法既适用于理想的(夹杂-基体)界面也适用于非理想的弹簧型或薄膜型界面。基于这种方法,本文对多个含均匀应力应变的宏观尺度夹杂(理想界面)和纳米尺度夹杂(薄膜型界面)进行了细致的研究,主要研究内容如下:对于无限大弹性体,第二章和第三章分别在反平面剪切和平面变形下建立了多个含均匀应力应变的宏观尺度夹杂,讨论了夹杂内部均匀应力应变的容许范围、外载荷的容许范围(对于平面变形)、夹杂的对称性以及夹杂形状对外载荷的依赖性等;对于带有自由表面的半无限大弹性体,第四章就反平面剪切变形,研究了多个具有均匀应变宏观尺度夹杂的存在性及其形状建立,探讨了半无限弹性体自由表面对夹杂形状的影响、夹杂的对称性以及夹杂形状对外加本征应变的依赖性;对于反平面剪切变形下的无限大弹性体,第五章和第六章基于Gurtin-Murdoch薄膜型界面理论,研究了含均匀应变的单个或单列周期非圆形纳米夹杂的存在性及其形状构建,分析了夹杂尺寸和周期大小对夹杂形状和基体应力场的影响、界面应力跳跃与界面曲率的关系等。本文主要创新性结果可归纳为:首次发现无限大或半无限大弹性体内多个夹杂所容许的内部均匀应力应变可适当超出无限大弹性内单个椭圆夹杂所容许的内部均匀应力应变的范围;首次导出了无限大或半无限大弹性体内多个含有均匀应力应变的(旋转)对称夹杂的材料常数所满足的条件;对于反平面剪切,首次证实了在带有自由表面的半无限大或四分之一无限大弹性体内多个含有均匀应变夹杂的存在性;对于反平面剪切,首次揭示了无限大弹性体内单个或多个含有均匀应变的非圆形纳米夹杂的存在性,纠正了前人的研究结果(即在二维变形下只有圆形纳米夹杂才可能获得均匀的应力应变)。


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