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流体动力学方程的差分格式及其收敛性研究

邱建贤  
【摘要】: 本文在交错网格的情况下,利用Gauss型求积公式构造了一类求解双曲守恒律的时空一致二阶显式Gauss型差分格式,这类Gauss型差分格式,具有不需要求解Riemann问题、计算简单、工作量少、编程简便等优美特点,而且由于这类格式在应用于求解方程组的时候,不需要对方程组进行特征分解,因此可应用于求解非严格的双曲守恒律方程组。在一维单个方程的情况下,证明该格式在CFL条件限制下为TVD格式,并证明了该格式的收敛性,给出了该格式的逐点误差阶估计,证明了该格式的解在加权意义下的收敛阶为一阶的;在二维和三维的情况下,证明了格式的MmB性质,然后将格式推广到方程组的情形,最后我们进行了数值试验,得到的试验结果是很令人满意的。 含有刚度源项的双曲守恒律可以用宋描述许多物理问题,如气体动力学、水波、交通流等等。本文将求解双曲守恒律方程的交错网格的GAUSS型差分格式,应用于求解含有刚度源项的双曲守恒律,构造了一类具有高分辨,计算简便等优点的求解含有刚度源项的双曲守恒律的交错网格的GAUSS型差分格式,证明该格式为一致二阶精度的格式,证明了该格式在CFL条件限制下为TVD格式,并证明了该格式的收敛性。最后我们进行了数值试验,验证了差分格式的精度。 Hamilton-Jacobi方程在控制论和微分对策中有广泛的应用,由于其表达形式与双曲守恒律方程极为相近,这有利于我们借助于求解双曲守恒律方程的差分格式来构造求解Hamilton-Jacobi方程的差分格式。本文,我们将Hamilton-Jacobi方程变化为双曲守恒律方程,利用求解双曲守恒律方程的交错网格的GAUSS型差分格式,构造了一类求解Hamilton-Jacobi方程的交错网格的GAUSS型差分格式。这类格式具有高分辨,计算简便等优点。最后我们针对一系列的一维和二维问题进行了数值试验,试验结果是很令人满意的。 利用曙光-1000型分布存储大规模并行机,对我们在交错网格下所构造求解Euler方程和浅水方程的高分辨差分格式进行了并行实现,并对并行效率进行了分析,计算结果和并行效率都比较令人满意。


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